Definición: Por un Secuencia infinita de los números reales, nos referiremos a cualquier función de valor real cuyo dominio es el conjunto de todos los enteros positivos.
Definición: Por un Serie infinita de números reales, nos referiremos a un par ordenado de secuencias infinitas de números reales $$(\{a_n\}_{n=1}^\infty, \{s_n\}_{n=1}^\infty)$$ tal que $$s_1=a_1, \space s_2=a_1+a_2, \space s_3=a_1+a_2+a_3$$ y en general $$s_k= a_1+a_2+ \dotsb +a_k$$ La secuencia $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ se llama la secuencia de términos de la serie infinita. La sucesión $\{s_n\}_{n=1}^\infty$ se llama la secuencia de sumas parciales de la serie infinita.
Pregunta del examen:
Dejemos que $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ sea una secuencia infinita de números reales. ¿Existe una serie infinita de números reales cuya secuencia de sumas parciales sea $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ ? ¿Por qué o por qué no?
Mi respuesta es Sí y he aquí por qué. Considere la secuencia constante $\{0\}_{n=1}^\infty$ . Esta secuencia tiene el valor $0$ para todos $n \in \mathbb Z^+$ . Ahora, si consideramos la serie infinita de esta secuencia, entonces la secuencia de sumas parciales tiene el valor $0$ para todos $n \in \mathbb Z^+$ . Así que, en este caso $$(\{a_n\}_{n=1}^\infty, \{s_n\}_{n=1}^\infty) = (\{0\}_{n=1}^\infty, \{0\}_{n=1}^\infty) = (0,0)$$
Por lo tanto, $\{a_n\}_{n=1}^\infty = 0 = \{s_n\}_{n=1}^\infty$ para todos $n \in \mathbb Z^+$ .
Sin embargo, al entregar mi examen, mi profesor dijo que esto era incorrecto. ¿Por qué?
