Demostrar que $2^{3^n} + 1$ es divisible por 9, para $n\ge1$

Question

Demostrar que $2^{3^n} + 1$ se puede dividir por $9$ para $n\ge 1$ .

Obra de OP: El caso es que no tengo ni idea, todo lo que he probado ha acabado en nada.

Comentarios de terceros: Las ideas estándar para atacar estos problemas incluyen la inducción y la aritmética de congruencia. (Las respuestas ilustrarán, entre otras cosas, que en este caso ambos enfoques funcionan bien).

Answer 1

Tenga en cuenta que

• $2^3$ es $-1$ modulo $9$
• $2^{3^n} = (2^{3})^{3^{n-1}}$
• $3^{n-1}$ es impar.

Answer 2

Primero, demuestre que esto es cierto para $n=1$ :

• $\dfrac{2^{3^{1}}+1}{9}=1\in\mathbb{N}$

En segundo lugar, supongamos que esto es cierto para $n$ :

• $\dfrac{2^{3^{n}}+1}{9}=k\in\mathbb{N}$

Tercero, demostrar que esto es cierto para $n+1$ :

• $\dfrac{2^{3^{n+1}}+1}{9}=\dfrac{2^{3^{n}}\cdot2^{3^{n}}\cdot2^{3^{n}}+1}{9}$

• $\dfrac{2^{3^{n}}\cdot2^{3^{n}}\cdot2^{3^{n}}+1}{9}=\dfrac{(9k-1)(9k-1)(9k-1)+1}{9}$ assumption used here

• $\dfrac{(9k-1)(9k-1)(9k-1)+1}{9}=81k^3-27k^2+3k\in\mathbb{N}$

Answer 3

Sugerencia $\rm \,\ {\rm mod}\,\ A^{\large B} + 1\!:\,\ \color{#c00}{A^B\equiv -1}\ \Rightarrow\ \color{}{A}^{\large BC}\equiv (\color{#c00}{A^{\large B}})^{\large C}\equiv (\color{#c00}{-1})^{\large C}$

Answer 4

Escribe $m={3^n}$ . Utilizando el teorema del binomio, obtenemos $$2^{3^n} + 1=2^m + 1=(3-1)^m+1=9a+3m-1+1=9a+3m$$ que es un múltiplo de $9$ porque $m$ es un múltiplo de $3$ .

Answer 5

Ahora, como estamos tratando de demostrar algo para todo n, debemos buscar inmediatamente la prueba por inducción. Para $n = 1$ el resultado es trivial ya que $2^{3^1}+1 = 9$ . A continuación, suponemos que $2^{3^{(n-1)}} + 1$ es divisible por $9$ , digamos que $2^{3^{(n-1)}} + 1=9\cdot k$ . Así que, $2^{3^{(n-1)}}=9\cdot k -1$ . Ahora, examinamos $2^{3^n}+ 1$ que puede escribirse como $2^{3^{n-1}\cdot3}+1$ que puede escribirse como ${(2^{3^{n-1}}})^3+1$ . Ahora bien, como $2^{3^{(n-1)}} = 9 \cdot k -1$ por nuestra hipótesis de inducción, tenemos que ${(2^{3^{n-1}}})^3 + 1={(9 \cdot k - 1})^3 +1 = (729\cdot {k^3}- 243\cdot k^2 +27 \cdot k -1)+1 = 729\cdot {k^3}- 243\cdot k^2 +27 \cdot k = 9\cdot (81 k^3 -27 k^2 +3k)$ y por lo tanto es divisible por $9$ .