Determinar una base canónica de Jordan para $T^2$

Question

Pregunta: Supongamos que $T : V \to V$ es un operador lineal sobre un espacio vectorial complejo y que $\{v_1,v_2,\dots,v_n\}$ es una base para $V$ que es una única cadena de Jordan (en otras palabras, un ciclo de vectores propios generalizados) para $T$ . Determinar una base canónica de Jordan para $T^2$ .

Mi intento: Podemos demostrar fácilmente, utilizando el JCF de $T$ que el único valor propio de $T^2$ es $\lambda^2$ , donde $\lambda$ es el valor propio correspondiente a la cadena de Jordan en el enunciado del problema. Sea $A$ sea una representación matricial de $T$ . Ahora, también tenemos que $(A^2 -\lambda^2 I) = (A-\lambda I)(A+\lambda I)$ . Sea $w_n = (A+\lambda I) v_n$ (nótese que utilizamos la convención de que $v_{2} = (A-\lambda I)v_1,$ $v_{3} = (A-\lambda I)^2v_{1},$ $\dots, v_n = (A-\lambda I)^{n-1}v_1$ ).

También tenemos que $(A^2 -\lambda^2)^2 = (A-\lambda I)^2(A+\lambda I)^2$ y, en general, $(A^2 -\lambda^2)^k = (A-\lambda I)^k(A+\lambda I)^k$ .

Todo esto parece prometedor, pero no puedo encontrar la base - esto nos dice que

$$(A^2 - \lambda^2 I)^nv_1 = (A-\lambda I)^n(A-\lambda I)^nv_1 = 0,$$

pero me estoy perdiendo un poco y no sé cómo proceder a partir de aquí.

Answer 1

La forma canónica clásica de Jordan está asociada a una base s.t. $(T-\lambda I_n)v_i=v_{i-1}$ (invertir el orden). De todos modos, la matriz asociada a $T$ es un bloque de Jordan $A=\lambda I_n+J_n$ donde $J_n$ es el bloque de Jordan nilpotente de dimensión $n$ . Entonces $A^2-\lambda^2I=(A-\lambda I)(A+\lambda I)$ .

Caso 1. $\lambda\not= 0$ . Entonces $A+\lambda I$ es invertible y la CJF asociada a $A^2$ es $\lambda^2I_n+J_n$ .

Caso 2. $\lambda=0$ . Considere $dim(\ker(A^2)),dim(\ker(A^4)),\cdots$ . el CJF asociado a $A^2$ es:

cuando $n=2p$ : $diag(J_{p-1},J_{p-1})$ .

cuando $n=2p+1$ : $diag(J_p,J_{p-1})$ .

Answer 2

Dejemos que $v_1,\dotsc,v_n$ sea una base de $V$ tal que $(T-\lambda I)v_i = v_{i+1}$ para $i=1,\dotsc,n-1$ .

Supongamos primero que $\lambda\neq 0$ . Poner $S:= T+\lambda I$ . Entonces $S$ es invertible y conmuta con $T$ . Ahora, pon $w_i:= S^{i}v_i$ . Entonces, para cada $i=1,\dotsc,n-1$ tenemos $$\begin{align*} (T^2-\lambda^2I)w_i &= (T+\lambda I)(T-\lambda I)S^{i}v_i\\ &= S^{i+1}(T-\lambda I)v_i\\ &= S^{i+1} v_{i+1}\\ &= w_{i+1}. \end{align*}$$ Por lo tanto, $w_1,\dotsc,w_n$ es su base. De hecho, la independencia lineal se puede demostrar por inducción descendente sobre $n$ : $w_n$ no es cero, por lo que es linealmente independiente. Suponiendo que $w_{i+1},\dotsc,w_n$ es linealmente independiente, dejemos que $\mu_i,\mu_{i+1},\dotsc,\mu_n$ sean escalares tales que $\sum_{j=i}^n\mu_jw_j = 0$ . Aplicando $T^2-\lambda^2$ en esta ecuación da como resultado $$0 = (T^2-\lambda^2)\left(\sum_{j=i}^n\mu_jw_j\right) = \sum_{j=i}^n\mu_j (T^2-\lambda^2)w_j = \sum_{j=i}^n \mu_jw_{j+1} = \sum_{j=i+1}^n\mu_{j-1}w_j,$$ donde ponemos $w_{n+1}:= (T^2-\lambda^2)w_n=0$ . Por hipótesis de inducción, tenemos $\mu_i=\dotsb=\mu_{n-1} = 0$ . Por lo tanto, la ecuación anterior se lee $\mu_nw_n = 0$ , lo que implica $\mu_n = 0$ y así, $w_i,\dotsc,w_n$ es linealmente independiente.

Si $\lambda = 0$ , entonces si $n$ es par, pon $w_i = v_{2i}$ para $i=1,\dotsc, n/2$ y $w_{n/2+i} = v_{2i-1}$ para $i=1,\dotsc,n/2$ .
Si $n$ es impar, pon $w_i = v_{2i}$ para $i=1,\dotsc,(n-1)/2$ y $w_{(n-1)/2 +i} = v_{2i-1}$ para $i=1,\dotsc, (n+1)/2$ . Entonces $w_1,\dotsc,w_n$ es su base (ya que es sólo una permutación de $v_1,\dotsc,v_n$ ).