Densidad de enteros con muchos divisores

Question

Por el método de la hipérbola de Dirchlet, se puede demostrar que el número medio de divisores de enteros $1 \leq n \leq X$ es $\log X$ . Esta pregunta se refiere al número de enteros $n \leq X$ tal que el número de divisores $d(n)$ es sustancialmente mayor que la media. De hecho, lo que se sabe sobre el tamaño del conjunto

$$\displaystyle \{1 \leq n \leq X : d(n) > (\log X)^A \}$$

donde $A > 1$ se considera un número positivo grande (pero fijo)?

Answer 1

El teorema 1.11 y el teorema 1.22 del artículo de Norton, citado en el comentario de Peter Humphries, muestran que para cualquier $A \ge \log 2$ , $$\frac{X (\log\log X)^{O(1)}}{(\log X)^{B(A)}} \ll_A |\{1\le n\le X:d(n) \ge (\log X)^A\}| \ll_A \frac{X}{(\log X)^{B(A)}},$$ donde $$B(A):=1+\frac{A}{\log 2}\left(\log\left(\frac{A}{\log 2}\right) -1 \right).$$ La ecuación (1.37) del mismo documento da el orden de magnitud correcto: Para cada $A>\log 2$ , $$|\{1\le n\le X:d(n) \ge (\log X)^A\}| \asymp_A \frac{X}{(\log X)^{B(A)} (\log\log X)^{1/2}}.$$

Answer 2

El orden normal de $\log(d(n))$ es $\log(2)\log\log(n))$ . Así, por cada $\epsilon>0$ , $$\log(d(n))<(1+\epsilon)\log(2)\log(\log(n))$$ se mantiene para casi todo n: es decir, si la proporción de $n\le x$ para el que esto no se cumple tiende a 0 como $x$ tiende al infinito. Así, $$d(n) < \log(n)^{(1+\epsilon)\log(2)}$$ es válida para casi todos los $n$ .