Subespacio invariante de la transformación ortogonal

Question

$V$ es un espacio euclidiano, $W$ es su subespacio.
$T$ es una transformación ortogonal T: V $\rightarrow$ V
$W$ es $T$ invariante.
¿Es W igual al rango de $T(w)$ , $w \in W$ ?

Lo pensé visualmente:
La transformación ortogonal puede verse como una rotación (rígida o impropia).
Dado un vector único, el resultado de la transformación también será único, por lo que el rango de $T(w)$ debe ser del mismo tamaño que el de W.
Dado que W es $T$ invariante: $T(w) \in W$ , $w \in W$ entonces deben ser iguales.

¿Es esto correcto?

Gracias.

Answer 1

Toda transformación ortogonal es invertible. Esto significa en particular que es inyectiva, y entonces su núcleo es cero. Considerando $T$ restringido a $W$ se tiene (por el teorema de la nulidad) $$\dim\Big(\ker \left(T\mid_W\right)\Big) + \dim\Big(T(W)\Big) = \dim( W ).$$ Desde $\ker\left(T\mid_W\right) = \{0\}$ Debemos tener $T(W) = W$ .