Series de Fourier y resolución de ecuaciones diferenciales

Question

Me estoy atascando en cómo utilizar las series de Fourier para resolver las EDO. Tome el problema donde

\begin{equation} E(t)=200t(\pi^2-t^2), \end{equation}

para $t$ entre $-\pi$ y $\pi$ (período de $2\pi$ ), $R=100$ , $L=10$ , $C=10^{-2}$ y

\begin{equation} LI'' +RI'+(1/c)I=E(t). \end{equation}

Sé que el primer paso sería expresar $E(t)$ como una serie de Fourier, entonces sustituya $E(t)$ en la ecuación con esa representación, y resolver las soluciones homogéneas y no homogéneas. Aquí es donde estoy confundido - ¿qué debo buscar para igualar?

Cualquier ayuda será muy apreciada. Gracias

Answer 1

Dejemos que $I(t)=\sum_{n \in \mathbb{Z}} c_n e^{int}$ y susbstituirlo en la ecuación. Reorganiza los términos para tener una suma en cada lado. Iguala entonces los coeficientes y obtendrás la serie de Fourier de la solución.