Curvatura gaussiana $K$ de parametrización ortogonal $X$

Question

Dejemos que $X$ sea una parametrización ortogonal de alguna superficie $S$ . Demostrar que la curvatura gaussiana $K = - \frac{1}{2 \sqrt{E G}} ((\frac{E_{v}}{\sqrt{E G}})_{v} + (\frac{G_{u}}{\sqrt{E G}})_{u})$ donde los subíndices denotan la diferenciación parcial de la cantidad con el subíndice con respecto a los términos dentro del subíndice, y donde $E$ , $F$ y $G$ dan la primera forma fundamental de $S$ por $X$ .

Answer 1

Encontré este pdf en el Fórmula de Gauss con una derivación completa - similar a la respuesta de Ivo arriba pero me gustó que las fórmulas fueran derivadas y no dadas (aparte de $K=(eg-f^2)/(EG-F^2)$ ). Lo he escrito a continuación:

Si $F=0$ entonces el sistema de determinación de los símbolos de Christoffel se simplifica a \begin{align*} \Gamma_{11}^1 E + \Gamma_{11}^2 F = \Gamma_{11}^1 E = X_{uu}\cdot X_u &= \frac{E_u}{2} & \implies \Gamma_{11}^1 &= \frac{E_u}{2E} \\ \Gamma_{11}^1 F + \Gamma_{11}^2 G = \Gamma_{11}^2 G = X_{uu}\cdot X_v = F_u - \frac{E_v}{2} &= - \,\frac{E_v}{2} & \implies \Gamma_{11}^2 &= -\, \frac{E_v}{2G} \\ \Gamma_{12}^1 E + \Gamma_{12}^2 F = \Gamma_{12}^1 E = X_{uv}\cdot X_u &= \frac{E_v}{2} & \implies \Gamma_{12}^1 &= \frac{E_v}{2E} \\ \Gamma_{12}^1 F + \Gamma_{12}^2 G = \Gamma_{12}^2 G = X_{uv}\cdot X_v &= \frac{G_u}{2} & \implies \Gamma_{12}^2 &= \frac{G_u}{2G} \\ \Gamma_{22}^1 E + \Gamma_{22}^2 F = \Gamma_{22}^1 E = X_{vv}\cdot X_u = F_v - \frac{G_u}{2} &= - \, \frac{G_u}{2} & \implies \Gamma_{22}^1 &= - \, \frac{G_u}{2E} \\ \Gamma_{22}^1 F + \Gamma_{22}^2 G = \Gamma_{22}^2 G = X_{vv}\cdot X_v &= \frac{G_v}{2} & \implies \Gamma_{22}^2 &= \frac{G_v}{2G} \end{align*} Además, de lo anterior se desprende que, \begin{align*} X_{uu} &= \Gamma_{11}^1 X_u + \Gamma_{11}^2 X_v +eN & \implies X_{uu} &= \frac{E_u}{2E} X_u - \frac{E_v}{2G} X_v + eN; \\ X_{uv} &= \Gamma_{12}^1 X_u + \Gamma_{12}^2 X_v +fN & \implies X_{uv} &= \frac{E_v}{2E} X_u + \frac{G_u}{2G} X_v + fN; \\ X_{vv} &= \Gamma_{22}^1 X_u + \Gamma_{22}^2 X_v +gN & \implies X_{vv} &= - \, \frac{G_u}{2E} X_u + \frac{G_v}{2G} X_v + gN. \end{align*} Las dos siguientes ecuaciones se dan en las páginas 154-5 del libro de do Carmo, y se simplifica como $F=0$ : \begin{align*} N_u &= \frac{fF-eG}{EG-F^2} X_u + \frac{eF-fE}{EG-F^2} X_v = - \, \frac{e}{E} X_u - \frac{f}{G} X_v; \\ N_v &= \frac{gF - fG}{EG - F^2} X_u + \frac{fF - gE}{EG - F^2} X_v = - \, \frac{f}{E} X_u - \frac{g}{G} X_v. \end{align*} Además, el orden de diferenciación no importa, de manera que $X_{uuv} = X_{uvu}$ Es decir \begin{align*} X_{uuv} &= \left( X_{uu} \right)_v = \left( \frac{E_u}{2E} X_u - \frac{E_v}{2G} X_v + eN \right)_v \\ &= \left( \frac{E_u}{2E} \right)_v X_u + \frac{E_u}{2E} X_{uv} - \left( \frac{E_v}{2G} \right)_v X_v - \frac{E_v}{2G} X_{vv} + e_v N + eN_v \\ &= \left( \frac{E_u}{2E} \right)_v X_u + \frac{E_u}{2E} \left( \frac{E_v}{2E} X_u + \frac{G_u}{2G} X_v + fN \right) - \left( \frac{E_v}{2G} \right)_v X_v - \frac{E_v}{2G} \left( - \, \frac{G_u}{2E} X_u + \frac{G_v}{2G} X_v + gN \right) \\ &{} \qquad {} \qquad + e_v N + e \left( - \, \frac{f}{E} X_u - \frac{g}{G} X_v \right) \\ &= \left[ \left( \frac{E_u}{2E} \right)_v + \frac{E_uE_v}{4E^2} + \frac{E_vG_u}{4EG} - \frac{ef}{E} \right] X_u + \left[ - \, \left( \frac{E_v}{2G} \right)_v + \frac{E_uG_u}{4EG} - \frac{E_vG_v}{4G^2} - \frac{eg}{G} \right] X_v \\ &{} \qquad {} \qquad + \left[ \frac{E_u f}{2E} - \frac{E_v g}{2G} + e_v \right] N. \\ X_{uvu} &= \left( X_{uv} \right)_u = \left( \frac{E_v}{2E} X_u + \frac{G_u}{2G} X_v + fN \right)_u \\ &= \left( \frac{E_v}{2E} \right)_u X_u + \frac{E_v}{2E} X_{uu} + \left( \frac{G_u}{2G} \right)_u X_v + \frac{G_u}{2G} X_{vu} + f_u N + fN_u \\ &= \left( \frac{E_v}{2E} \right)_u X_u + \frac{E_v}{2E} \left( \frac{E_u}{2E} X_u - \frac{E_v}{2G} X_v + eN \right) + \left( \frac{G_u}{2G} \right)_u X_v + \frac{G_u}{2G} \left( \frac{E_v}{2E} X_u + \frac{G_u}{2G} X_v + fN \right) \\ &{} \qquad {} \qquad + f_u N + f \left( - \, \frac{e}{E} X_u - \frac{f}{G} X_v \right) \\ &= \left[ \left( \frac{E_v}{2E} \right)_u + \frac{E_vE_u}{4E^2} + \frac{G_uE_v}{4EG} - \frac{ef}{E} \right] X_u + \left[ - \, \frac{E_v^2}{4EG} + \left( \frac{G_u}{2G} \right)_u + \frac{G_u^2}{4G^2} - \frac{f^2}{G} \right] X_v \\ &{} \qquad {} \qquad + \left[ \frac{E_ve}{2E} + \frac{G_uf}{2G} + f_u \right] N. \end{align*} Antes de continuar, determinamos lo siguiente: \begin{align*} \left( \frac{E_v}{2G} \right)_v &= \frac{2GE_{vv} - 2G_vE_v}{4G^2} = \frac{E_{vv}}{2G} - \frac{G_vE_v}{2G^2}; \\ \left( \frac{G_u}{2G} \right)_u &= \frac{2G G_{uu} - 2G_u^2}{4G^2} = \frac{G_{uu}}{2G} - \frac{G_u^2}{2G^2}. \end{align*} Como $X_{uvu}-X_{uuv}=0$ los coeficientes de la base $\left\{ X_u, X_v, N \right\}$ para $X_{uvu}-X_{uuv}$ deben ser todos cero, es decir \begin{align*} 0 = X_{uvu}-X_{uuv} &= \underbrace{\left[ \left( \frac{E_u}{2E} \right)_v - \left( \frac{E_v}{2E} \right)_u \right]}_{=0} X_u \\ &{} \qquad {} \qquad + \underbrace{\left[ \frac{E_u G_u}{4EG} + \frac{E_v^2}{4EG} - \left( \frac{E_v}{2G} \right)_v - \frac{E_vG_v}{4G^2} - \frac{G_u^2}{4G^2} - \frac{eg-f^2}{G} - \left( \frac{G_u}{2G} \right)_u \right]}_{=0} X_v \\ &{} \qquad {} \qquad + \underbrace{\left[ \frac{E_u f}{2E} - \frac{E_ve}{2E} - \frac{E_vg}{2G} - \frac{G_uf}{2G} + e_v - f_u \right]}_{=0} N. \end{align*} El coeficiente de $X_v$ nos da \begin{align*} K = \frac{eg-f^2}{EG} &= \frac{1}{E} \left[ \frac{E_u G_u}{4EG} + \frac{E_v^2}{4EG} - \left( \frac{E_v}{2G} \right)_v - \frac{E_vG_v}{4G^2} - \frac{G_u^2}{4G^2} - \left( \frac{G_u}{2G} \right)_u \right] \\ &= - \, \frac{1}{2\sqrt{EG}} \left[ - \, \frac{E_u G_u}{2E\sqrt{EG}} - \frac{E_v^2}{2E\sqrt{EG}} + \frac{2\sqrt{G}}{\sqrt{E}} \left( \frac{E_v}{2G} \right)_v + \frac{E_vG_v}{2G\sqrt{EG}} + \frac{G_u^2}{2G\sqrt{EG}} + \frac{2\sqrt{G}}{\sqrt{E}} \left( \frac{G_u}{2G} \right)_u \right] \\ &= - \, \frac{1}{2\sqrt{EG}} \left[ - \, \frac{E_u G_u}{2E\sqrt{EG}} - \frac{E_v^2}{2E\sqrt{EG}} + \frac{2\sqrt{G}}{\sqrt{E}} \left( \frac{E_{vv}}{2G} - \frac{G_vE_v}{2G^2} \right) \right. \\ &{} \qquad {} \qquad {} \qquad {} \qquad \left. + \frac{E_vG_v}{2G\sqrt{EG}} + \frac{G_u^2}{2G\sqrt{EG}} + \frac{2\sqrt{G}}{\sqrt{E}} \left( \frac{G_{uu}}{2G} - \frac{G_u^2}{2G^2} \right) \right] \\ &= - \, \frac{1}{2\sqrt{EG}} \left[ \left( \frac{E_{vv}}{\sqrt{EG}} - \frac{E_v \left( E_vG + EG_v \right)}{2EG\sqrt{EG}} \right) + \left( \frac{G_{uu}}{\sqrt{EG}} - \frac{G_u \left( E_u G + EG_u \right)}{2EG\sqrt{EG}} \right) \right] \\ &= - \, \frac{1}{2\sqrt{EG}} \left[ \left( \frac{E_v}{\sqrt{EG}} \right)_v + \left( \frac{G_u}{\sqrt{EG}} \right)_u \right], \end{align*} donde \begin{align*} \left( \frac{E_v}{\sqrt{EG}} \right)_v &= \frac{E_{vv}\sqrt{EG} - E_v\left( E_v\sqrt{G}/\sqrt{E} + \sqrt{E}G_v/\sqrt{G} \right)/2}{EG}; \\ \left( \frac{G_u}{\sqrt{EG}} \right)_u &= \frac{G_{uu}\sqrt{EG} - G_u\left( E_u \sqrt{G}/\sqrt{E} + \sqrt{E} G_u/\sqrt{G} \right)/2}{EG}. \end{align*}

Answer 2

La parematrización ortogonal significa que la primera forma fundamental tiene $F=0$ . Suponemos que la superficie es suficientemente agradable $S$ (para que nunca dividamos por $0$ y todas las funciones son infinitamente diferenciables en todos los argumentos, etc.).

Primero derivamos dos resultados relacionados, donde $\Gamma_{i,j}^{k}$ denota los símbolos de Christoffel del primer tipo:

$\Gamma_{1,1}^{1} F + \Gamma_{1,1}^{2} G = X_{u,u} \cdot X_{v} = (X_{u} \cdot X_{v})_{u} - \frac{(X_{u} \cdot X_{v,u})}{2} = F_{u} - \frac{1}{2} E_{v}$ .

Igualmente, $\Gamma_{1,2}^{1} F + \Gamma_{1,2}^{2} G = X_{u,v} \cdot X_{v} = \frac{1}{2} G_{u}$ .

A continuación, recuerde la fórmula $K = \frac{1}{\sqrt{E G - F^2}} (\frac{\partial}{\partial v} (\frac{\sqrt{E G - F^2}}{E} \Gamma_{1,1}^{2}) - \frac{\partial}{\partial u} (\frac{\sqrt{E G - F^2}}{E} \Gamma_{1,2}^{2}))$ .

A partir de estas ecuaciones, restringiendo $F=0$ se deduce inmediatamente por sustitución:

$K = \frac{1}{\sqrt{E G}} (\frac{\partial}{\partial v} (-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{G}{E}} \frac{E_{v}}{G}) - \frac{\partial}{\partial u} (\frac{1}{2} \sqrt{\frac{G}{E}} \frac{G_{u}}{G})) = - \frac{1}{2 \sqrt{E G}} ((\frac{E_{v}}{\sqrt{E G}})_{v} + (\frac{G_{u}}{\sqrt{E G}})_{u})$ . QED

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Información adicional

La fórmula isotérmica de la curvatura gaussiana $K$ sigue inmediatamente. El caso isotérmico es un caso especial de parametrización ortogonal ( $F=0$ ) en el que $E = G= \lambda \dot{=} \lambda (u,v)$ .

En este caso: $K = -\frac{1}{2 \sqrt{\lambda^2}} ((\frac{\lambda_{v}}{\lambda})_{v} + (\frac{\lambda_{u}}{\lambda})_{u}) = -\frac{1}{2 \lambda} ((log({\lambda})_{v})_{v} + (log({\lambda})_{u})_{u}) = -\frac{1}{2 \lambda} (log({\lambda})_{v,v} + log({\lambda})_{u,u}) = -\frac{1}{2 \lambda} (\frac{\partial^2}{(\partial u)^2} + \frac{\partial^2}{(\partial v)^2})(\log({\lambda})) = -\frac{1}{2 \lambda} \Delta(\log\lambda)$ donde la penúltima ecuación utiliza una suma formal de operadores derivados (izquierda) por comodidad y limpieza de la notación y donde la última ecuación la simplifica aún más denotando esta suma formal como el operador laplaciano $\Delta$ .