Demostración de una desigualdad en la norma de la matriz

Question

Considero que la siguiente desigualdad debería ser válida

$$ \|A \otimes xx^T\|_2 \le \|A\|_2, $$

donde $A$ es real, simétrica y semidefinida positiva, $\otimes$ es la multiplicación por elementos, $\|\cdot\|_2$ es el $\ell_2$ norma del operador, y $-1 \le x \le 1$ .

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Mi intento:

Parece que deberíamos ser capaces de demostrarlo usando la desigualdad del triángulo. Tenemos que demostrar que

$$\|A\|_2 - \|A \otimes xx^T\|_2 \ge 0.$$

Sin embargo, la desigualdad triangular sólo puede proporcionar un límite superior del LHS, en lugar de un límite inferior.

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Mi intento #2: $$ \|A \otimes xx^T\|_2 = \|\text{diag}(x)\ A\ \text{diag}(x)\|_2 \le \|\text{diag}(x)\ A\ \text{diag}(x)\|_F \le \|\text{diag}(x)\|_2\|A\|_2\| \text{diag}(x)\|_F = x_{max} \sqrt{\sum_i^d x_i^2} \|A\|_2 \le \sqrt{d}\|A\|_2. $$

Todavía no está lo suficientemente apretado...

Answer 1

Ya casi está. Tenemos $$ \|A \otimes xx^T\|_2 = \|\operatorname{diag}(x)A\operatorname{diag}(x)\|_2 \leq \|\operatorname{diag}(x)\|_2\cdot \|A\|_2 \cdot \|\operatorname{diag}(x)\|_2 \leq \|A\|_2. $$

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En cuanto a la desigualdad: tenemos $\|AB\|_2 \leq \|A\|_2 \|B\|_2$ en general. Es decir, el $\ell^2$ La norma del operador (como cualquier norma del operador) es "submultiplicativa".

Una prueba es la siguiente. Tenemos $\|Ax\| \leq \|A\|_2 \|x\|_2$ . Así, $$ \|AB\|_2 = \max_{\|x\|_2 = 1} \|A(Bx)\| \leq \max_{\|x\|_2 = 1} \|A\|_2\cdot \|Bx\|_2 = \|A\|_2 \max_{\|x\|_2 = 1} \cdot \|Bx\|_2 = \|A\|_2 \cdot \|B\|_2. $$ He utilizado $\|\cdot\|_2$ para referirse a la $\ell_2$ -norma o el operador norma asociado (dependiendo de si el argumento es un vector-columna o una matriz).