Un problema de estrés térmico

Question

Esta es la pregunta:

Hay 2 varillas colocadas entre soportes rígidos. Donde $Y_{i}, \alpha_{i}$ y $A_{i}$ son el módulo de Young, el coeficiente de dilatación lineal y el área de la sección transversal de las varillas. Cuando el sistema se calienta a la temperatura $\theta_{2} $ de $\theta_1$ encontrar la relación entre $A_1$ y $A_2$ de manera que sus longitudes permanezcan constantes.

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Ahora sé que si la longitud no cambia podría considerar que una tensión térmica de $Y\alpha\Delta\theta $ se desarrolla en las varillas. El problema es el área que tengo que considerar para igualar la fuerza. Mi profesor me dice que tengo que considerar esta ecuación: $$A_{1}Y_{1}\alpha_{1}\Delta\theta=A_{2}Y_{2}\alpha_{2}\Delta\theta$$ Pero no entiendo esta ecuación. Según yo, debe ser $A_2$ en ambos lados en lugar de $A_1$ y $A_2$ . Ya que la tensión desarrollada en las varillas sólo podría ser transferida a través de la zona común (creo...). ¿Podría alguien explicarme qué es lo que está mal?

Answer 1

Lo que ocurre ahí es que hay una fuerza igual y opuesta que actúa sobre la interfaz

Esta fuerza da lugar a una tensión de $\sigma_1 = \frac{F}{A_1}$ en un lado y $\sigma_2 = \frac{F}{A_2}$ en el otro lado lejos de la interfaz .

La hipótesis de ingeniería es que la presión de contacto $P=\frac{F}{A_2}$ se extiende a la sección transversal completa $A_1$ en una distancia corta comparada con la longitud total de la pieza.

Las dos partes también tienen la deformación debida a esta fuerza igual a la deformación debida a la expansión térmica.

$$ \epsilon_1 = \frac{\sigma_1}{Y_1} = \alpha_1 \Delta \theta $$ $$ \epsilon_2 = \frac{\sigma_2}{Y_2} = \alpha_2 \Delta \theta $$

Combina la tensión de arriba en la deformación y resuelve la fuerza común $F$

$$ \frac{F}{A_1 Y_1} = \alpha_1 \Delta \theta $$ $$ \frac{F}{A_2 Y_2} = \alpha_2 \Delta \theta $$

$$ \boxed{ F = A_1 Y_1 \alpha_1 \Delta \theta = A_2 Y_2 \alpha_2 \Delta \theta } $$

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Todo esto está bien en teoría, pero en la vida real es un poco más complejo, como sospechas, ya que planteas dudas válidas sobre el uso de la sección transversal mayor.

Haciendo un ejemplo de AEF se ve a continuación que la sección delgada tiene una tensión uniforme (1). Pero la sección más grande sólo tiene una tensión uniforme (2) lejos de la interfaz. Justo al lado de la interfaz (3) la tensión es $F/(A_2 Y_1)$ y lejos del contacto (4) es mucho menor de lo previsto.

Answer 2

La confusión es en parte la diferencia entre hacer un balance de fuerzas teórico y determinar en la práctica la fuerza a partir de la tensión. Un balance de fuerzas teórico de cuerpo libre se realiza en un punto. Tensión $\sigma$ se convierte en la práctica en fuerza $F$ utilizando el área $F = \sigma A$ . Para convertir este último marco de referencia (área) en el primero (marco de referencia de equilibrio de fuerzas), hay que suponer que toda la fuerza generada sobre el área de la varilla izquierda (de mayor diámetro) y toda la fuerza generada sobre el área de la varilla derecha (de menor diámetro) colapsan en un punto común. En la práctica, esto equivale a afirmar que la cara de la varilla de mayor diámetro es perfectamente rígida.

Una visión alternativa es considerar el equivalente a una mano empujando contra una pared. Toda la mano empuja con una fuerza que es contrarrestada por toda la pared. De lo contrario, la mano hace un agujero en la pared.

Answer 3

La razón por la que se toma el área completa en $A_{1}$ es porque se trata de una aproximación: no importa cómo se aplique localmente la tensión en su superficie, todo el objeto siente la tensión como si se aplicara uniformemente en su sección transversal. De lo contrario, se produciría una deformación local.
Sin embargo, esto no es cierto en la realidad.