Demuestre que siempre existe una solución para $X^2+Y^2 = -1$ en cualquier campo finito $\mathbb{Z}_p$ .
Para $p$ de la forma $4n +1$ es fácil demostrarlo tomando $Y =0$ . No pude averiguar cómo abordar el otro caso.
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Dominik
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wujj123456
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Hay una solución de sobremuerte, usando el Teorema de Chevalley-Advertencia. Sea $q$ sea una potencia primera. El polinomio $X^2+Y^2+Z^2 \in \mathbb{F}_q[X,Y,Z]$ tiene una raíz $(X,Y,Z)=(0,0,0)$ . El grado de este polinomio es $2$ que es menor que el número de variables (a saber, $3$ ). Por el teorema de Chevalley, tiene otra raíz $(X,Y,Z)=(x,y,z)$ . Sin pérdida de generalidad, supongamos que $z\neq 0$ lo que significa que podemos dividir $x$ , $y$ y $z$ por $z$ . Por lo tanto, podemos suponer también que $z=1$ . Esto significa que $x^2+y^2+1=0$ en $\mathbb{F}_q$ .
user254665
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Los casos $p=2,3,5,7$ puede ser manejado por la inspección. Para $p \ge 11$ incluso podemos demostrar que cualquier no $0$ miembro de $Z_p$ es igual a $a^2+b^2$ para un número no nulo de $a,b$ con $a^2 \ne b^2$ . Prueba: Sea $S= \{ {x^2 | 0 \ne x \in Z_p} \}$ , dejemos que $T=(Z_p - S) - \{ 0 \}$ , dejemos que $ A= \{ y+z | y,z \in S , y \ne z\ \} - \{ 0 \}$ . Obsérvese que si $c \in S \cap A$ entonces $S=cS \subset A$ y si $d \in T \cap A$ entonces $T=dS \subset A$ y como $S \cup T=Z_p- \{ 0 \}$ basta con mostrar $$T \cap A \ne \phi \ne S \cap A.$$ En primer lugar, supongamos que $T \cap A = \phi$ Así que $A \subset S$ Así que $5=2^2+1^2 \in A \cap S$ . (Recordemos $p \ge 11$ así que $5 \ne 0 \ne 2$ mod $p$ ).Pero entonces para $5 \le n \le p-1$ tenemos $$n \in S \cap A \implies n \in S \implies n+1=n+1^2 \in A \implies n+1 \in S \cap A$$ por lo que los únicos no cuadrados de $Z_p$ se encuentran entre $\{ 2,3 \}$ lo que implica $p \le 5$ Por lo tanto $$T \cap A \ne \phi .$$ En segundo lugar, para demostrar que $S \cap A \ne \phi$ tenemos ( modulo $p$ ) $3^2 \ne 0 \ne 4^2$ y $3^2+4^2=5^2 \ne 0$ y $4^2-3^2=9 \ne 0$ .
