Cuáles son los subconjuntos abiertos de $\mathbb{R}^n$ que son diffeomorphic a $\mathbb{R}^n$

Question

Hola,

Me gustaría saber si hay una propiedad conocida de la necesaria y suficiente en un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ que es diffeomorphic a $\mathbb{R}^n$:

Por ejemplo:

¿1) son subconjuntos abiertos en forma de estrella de $\mathbb{R}^n$ diffeomorphic a $\mathbb{R}^n$?

¿2) recíprocamente, son todos los subconjuntos de $\mathbb{R}^n$ que son diffeomorphic a $\mathbb{R}^n$, en forma de estrella?

Gracias por sus respuestas y pruebas

Answer 1

Anuncio de la pregunta 1): Sí, todos los abiertos con forma de estrella de subconjuntos de $\mathbb{R}^n$ son diffeomorphic a $\mathbb{R}^n$.

Esto es sorprendentemente poco conocido y no es una prueba, debido a Stefan Nacido. Usted puede encontrar esto (bastante complicado) prueba de Dirk Ferus las notas del curso

http://www.math.tu-berlin.de/~ferus/ANA/Ana3.pdf

página 154, Satz 237 [Las notas son alas en alemán]

Añadido el 30 de diciembre de 2009: Mi excelente colega Erwann Aubry me informa de que este resultado es también resultó ser más simple en la página 60 de Gonnord Y Tosel del libro "Calcul Différentiel", elipses,1998.

[Este libro está en francés, y por otra parte, publicada por "puntos suspensivos" un valiente pequeño editor, completamente desconocido fuera de Francia porque se adapta a la idiosincrasia de los franceses sistema académico]

Felicitaciones a cualquier referencia honesto en inglés, en lugar de exóticas lenguas extranjeras :)

Answer 2

He enviado un e-mail a Erwann Aubry (véase Georges Elencwajg la respuesta) y le pidió un análisis de esta prueba del libro "Calcul Différentiel". Él respondió y me envíe la prueba traducido al inglés. Aquí es su papel original. Y esto cómo esta hermosa historia va:

Teorema. Cada abierto de estrellas en forma de conjunto $\Omega$ en $\mathbb{R}^n$ es $C^\infty$-diffeomorphic a $\mathbb{R}^n.$

Prueba. Por conveniencia supongamos que $\Omega$ es en forma de estrella en $0.$

Deje que $F=\mathbb{R}^n\setminus\Omega$ y $\phi:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}_+$ ($\mathbb{R}_+=[0,\infty)$) $C^\infty$-función tal que $F=\phi^{-1}(\{0\}).$ (tal $\phi$ existe debido a Whitney extensión del teorema)

Ahora nos fijamos $f:\Omega\rightarrow\mathbb{R}^n$ por la fórmula: $$f(x)=\overbrace{\left[1+\left(\int_0^1\frac{dv}{\phi(vx)}\right)^2||x||^2\right]}^{\lambda(x)}\cdot x=\left[1+\left(\int_0^{||x||}\frac{dt}{\phi(t\frac{x}{||x||})}\right)^2\right]\cdot x.$$ Claramente $f$ es suave en $\Omega.$

Ponemos $A(x)=\sup\{t>0:t\frac{x}{||x||}\in\Omega\}.$ $f$ envía injectively el segmento (o rayo) $[0,a(x))\frac{x}{||x||}$ al rayo de $\mathbb{R_+}\frac{x}{||x||}.$ Por otra parte $f(0\frac{x}{||X||})=0$ y $$\lim_{r\rightarrow a(x)}||f(r\frac{x}{||x||})||=\lim_{r\rightarrow A(x)}\left[1+\left(\int_0^{r}\frac{dt}{\phi\left(t\cdot\frac{rx}{||x||}\cdot||\frac{||x||}{rx}||\right)}\right)^2\right]\cdot r=\\ \left[1+\left(\int_0^{A(x)}\frac{dt}{\phi(t\frac{x}{||x||})}\right)^2\right]\cdot(x)=+\infty.$$ De hecho, si $a(x)=+\infty,$ entonces se mantiene por razones obvias. Si $a(x)<+\infty,$, a continuación, las definiciones de $\phi$ y $A(x)$ tenemos que $\phi(a(x)\frac{x}{||x||})=0.$ Por lo tanto, por Decir teorema del valor y el hecho de que $\phi$ es $C^1$ $$\phi\left(r\frac{x}{||x||}\right)\leqslant M(a(x)-r)$$ para algunas constantes $M$ y $r.$ Como resultado $$\int_0^{A(x)}\frac{dt}{\phi\left(t\frac{x}{||x||}\right)}$$ diverge. Por lo tanto podemos inferir que $f([0,a(x))\frac{x}{||x||})=\mathbb{R_+}\frac{x}{||x||}$ y por lo que $f(\Omega)=\mathbb{R}^n.$

Para finalizar la prueba que necesitamos para demostrar que $f$ ha $C^\infty$inversa. Pero como corolario del teorema de la función Inversa tenemos que es suficiente para demostrar que $df$ desaparecen de la nada.

Suponga que $d_xf(h)=0$ $x\in\Omega$ y $h\neq 0.$ A partir de la definición de $f$ obtenemos que $$d_xf(h)=\lambda(x)h+d_x\lambda(h)x.$$ Por lo tanto $h=\mu$ x $\mu\neq 0$ y de que $x\neq 0.$ Como resultado $\lambda(x)+d_x\lambda(x)=0.$ Pero tenemos que $\lambda(x)\geqslant 1$ y la función $g(t):=\lambda(tx)$ es creciente, por lo que $g'(1)=d_x\lambda(x)>0,$, que le da una contradicción.$\cuadrado$

Answer 3

Sin duda puede tener un set diffeomorphic a R ^ n pero no en forma de estrella. Por ejemplo, para n = 2, el teorema del mapeo de Riemann implica que cualquier conjunto abierto simplemente conectado es diffeomorphic al plano. Concretamente, se puede tomar una pelota y a deformar un poco así que muy mal no es convexo (en particular, no estrella-convexo) pero todavía diffeormorphic a la bola. Por ejemplo, que una letra gruesa M en dos dimensiones.

Answer 4

No, no realmente. En dimensión 4, por ejemplo, un subconjunto abierto de R ^ 4 puede ser homeomorfa a R ^ 4 pero no diffeomorphic, como exóticas liso R ^ 4 que incrustar sin problemas en R ^ 4.

Pero en dimensiones diferentes de 4, R ^ n admite una única estructura lisa. Así que puede ser la condición necesaria y suficiente que el subconjunto abierto es homeomorfa a R ^ n. ¿Eso es probablemente no lo que usted quiere oír?

Answer 5

Gracias por sus respuestas,

Así que supongo que si $n\neq 4$, a continuación, la condición necesaria y suficiente es precisamente "contráctiles y simplemente se conecta al infinito". Aquí, sólo hay un posible diferencial de la estructura.

En la dimensión 4, tiene una infinidad de posibles diferencial de las estructuras. Es cierto entonces que:

Pregunta : Si $U$ es un abierto contráctiles simplemente se conecta al infinito subconjunto de $\mathbb{R}^4$ en las que consideramos que el estándar diferencial de la estructura. Entonces es de $U$ diffeomorphic a $\mathbb{R}^4$ (con su estándar diferencial de la estructura) ?