¿Se puede descomponer una variable aleatoria $X$ en una mezcla de $Y$ y $Z$ con una probabilidad de mezcla preestablecida $p$ sujeto a la restricción $E[Y] = \mu$ ?

Question

Dejemos que $X$ sea una variable aleatoria con función de distribución conocida $F$ y que $Q \sim Bernoulli(p)$ . Condicionado a $Q=1$ , $X = Y$ donde $Y \sim G$ . Condicionado a $Q = 0$ , $X = Z$ donde $Z \sim H$ .

Supongamos ahora que fijamos un valor para $p$ estrictamente entre cero y uno, junto con una media $\mu$ para la variable aleatoria $Y$ . Dado $F$ , $p$ y $\mu$ ¿existe siempre un par correspondiente $(G,H)$ que satisfaga el modelo de mezcla? Si no es así, ¿existen condiciones para $F$ que garantice la existencia de ese par?

Actualización: En la primera respuesta de abajo, amante del kimchee da dos ejemplos de un discreto $X$ en la que la descomposición falla. Esto es un comienzo útil, pero estoy particularmente interesado en las configuraciones en las que el conjunto de soporte de $X$ es bastante rico. Estaría muy contento con una caracterización que se aplica a la distribución continua $X$ aunque no se pueda decir algo en general para las VR discretas.

Answer 1

No siempre. Supongamos que $P(X=\nu)=1$ , donde $\nu$ es una constante, diferente de $\mu;$ En otras palabras $F=\delta_\nu.$ Desde $F$ es un punto extremo en el espacio de las medidas de probabilidad, tanto $G$ y $H$ debe ser igual a $F$ . Pero la expectativa de $G$ es entonces errónea.

De forma más elaborada, dejemos $F= (\delta_0 + \delta_1)/2$ poner la mitad de su masa en $0$ y la mitad en $1$ . Entonces $G$ y $H$ también debe ser compatible con $\{0,1\}$ y por lo tanto $P(Y=1) = \mu$ y por lo tanto $P(Y=0)=1-\mu$ . Ya sabemos que $\mu$ debe satisfacer $0\le\mu\le1$ . De la misma manera, $P(Z=1)$ debe entonces resolver $1/2 = p\mu + P(Z=1)$ lo que implica $$0 \le \frac{1/2-\mu p}{1-p} \le 1.$$

Si se me ocurre una condición simple que implique $F$ , $p$ y $\mu$ solo, permitiendo una descomposición, lo publicaré.

Añadido 2 horas después.

Supongamos que $F$ es continua, con apoyo $\mathbb R$ . Desde $F$ es una mezcla no trivial de $G$ y $H$ tenemos $G\ll F$ y $H\ll F$ y por lo tanto $G$ y $H$ tienen derivadas de Radon-Nikodym con respecto a $F:$ llámalos $\gamma$ y $\eta$ . Por lo tanto, la descomposición deseada requiere $p\gamma(x) +(1-p)\eta(x)=1$ para casi todo (con respecto a $F$ ) los valores de $x$ , y $\int_{\mathbb R} \gamma(x) F(dx)=\int_{\mathbb R} \eta(x) F(dx) = 1$ y $\int_{\mathbb R} x \gamma(x) F(dx)=\mu$ . Y, por supuesto, $\gamma(x)\ge 0$ y $\eta(x)\ge 0$ para casi todos los $x$ Se trata, en cierto modo, de un problema de programación lineal (o de viabilidad). La función desconocida $\eta$ se puede eliminar de esta configuración observando que dado $\gamma$ encontramos $\eta=(1-p\gamma)/(1-p)$ y la restricción de no negatividad en $\eta$ puede ser transferido a $\gamma$ exigiendo $0\le \gamma(x) \le 1/p$ .

Creo que el siguiente esquema muestra cuando tal $\gamma$ existe. Para cada $t\in [0,1-p]$ dejar $A(t) = F^{-1}(1-p-t)$ y $B(t) = F^{-1}(1-t)$ . Así, $p$ de $X$ se encuentra entre $A(t)$ y $B(t)$ y $t$ de la masa se encuentra por encima de $B(t)$ . Consideremos ahora la función decreciente $m(t) = \int_{A(t)}^{B(t)} x F(dx)/p$ . Si $\mu = m(t)$ para algunos $t$ hemos terminado: dejemos que $\gamma=I_{[A(t),B(t)]}/p$ . Si no hay tal $t$ , I piense en el problema es inviable. Lo que podría ocurrir si $\mu$ es demasiado grande.