Existe una variable aleatoria poisson $X$ $$P(X=x)=\frac{\lambda^{x}}{x!}e^{-\lambda}$$ Y definir la variable aleatoria $Z=\lceil \beta X \rceil$ ( $\beta$ es un número racional menor que 1).
¿Cómo puedo encontrar la distribución de $Z$ .?
Respuesta
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Cuando se trata de techos, la forma correcta de proceder es utilizando intervalos de probabilidad. $$ P(Z=z)=P(z-1<\beta X <=z)=P(\frac{z-1}{\beta}<X<=\frac{z}{\beta})=F_X(\frac{z}{\beta})-F_X(\frac{z-1}{\beta}) $$ Donde $F_X$ es la distribución acumulativa de X. Sustituyendo: $$ P(Z=z)=e^{-\lambda}\sum_{i=0}^{\lfloor\frac{z}{\beta}\rfloor}\frac{\lambda^i}{i!}-e^{-\lambda}\sum_{i=0}^{\lfloor\frac{z-1}{\beta}\rfloor}\frac{\lambda^i}{i!}= \begin{cases} e^{-\lambda}\sum_{i=\lfloor\frac{z-1}{\beta}\rfloor}^{\lfloor\frac{z}{\beta}\rfloor}\frac{\lambda^i}{i!} &, z\ge 1 \\ e^{-\lambda} &,z=0 \end{cases} $$
