¿Implica el Pequeño Teorema de Fermat $n^{p-2} \equiv \frac{p+1}{n}$ (mod $p$ )?

Question

El pequeño teorema de Fermat nos dice que para un primo $p$ si $\gcd(p,n)=1$ Entonces:

$$n^{p-1} \equiv 1 \pmod p$$

Si $n | (p+1)$ ¿se deduce necesariamente que:

$$n^{p-2} \equiv \frac{p+1}{n} \pmod p$$

Answer 1

$$n^{p-1}\equiv 1 \equiv p+1 \pmod p \implies n^{-1}n^{p-1}\equiv n^{-1}(p+1)\pmod p \iff n^{p-2}\equiv \frac {p+1}n$$