Descomposiciones a libro abierto de $T^3$

Question

Por favor, perdonen mi ignorancia en el tema de los libros abiertos, soy un novato. Me gustaría conocer algunas descripciones explícitas de las descomposiciones en libro abierto de los tres toros $T^3$ . ¿Existen ejemplos con vinculación conectada?

¿Existe una prueba topológica directa que demuestre que todo 3-manifold admite una descomposición en libro abierto? Lo ideal sería que una prueba de este tipo empezara con una descomposición de Heegaard o una descripción quirúrgica de un determinado 3-manifold, y luego diera un algoritmo para convertirlo en una descomposición de libro abierto. En ese caso, supongo que podría seguir esa demostración para responder a mi primera pregunta sobre $T^3$ .

Answer 1

Hay una prueba directa de exactamente lo que pides en la página 147 de:

Calegari, Danny Foliations and the geometry of 3-manifolds, Oxford Mathematical Monographs; Oxford Science Publications. Oxford: Oxford University Press (ISBN 978-0-19-857008-0/hbk). xiv, 363 p. (2007). ZBL1118.57002 .

Aquí Calegari proporciona los detalles de una construcción muy conocida. Partiendo de los datos de división de Heegaard de una variedad fija $M$ . Explica cómo construir un complemento de enlace de fibra $M-L$ . Aquí $L$ es el complemento del conjunto de curvas utilizado en el teorema de Lickorish (que muestra que toda variedad es una cirugía de Dehn en un enlace) más una curva "sin nudos".

A continuación, Calegari responde a su segunda pregunta utilizando la conocida técnica de "fontanería a lo largo de una banda de Hopf" encontrar un nuevo complemento de enlace de fibra $M-L_1$ en $M$ con 1 cúspide menos que $M-L$ . Esto se hace a costa de elevar el género de la fibra, pero se puede repetir hasta que $M-L_n$ tiene una sola cúspide. Por supuesto, esto corresponde a una descomposición de libro abierto de $M$ con un enlace conectado.

Si sólo le interesa el caso de $T^3$ puede empezar con los Anillos Borromeo (en la foto) como su enlace fibrado (ver Nudos y Enlace 338 de Rolfsen para información sobre un fibrado de este complemento de enlace). La cirugía (0,1) en cada componente da como resultado $T^3$ y ejecutar el argumento de Calegari o utilizar uno de los dos ejemplos en los comentarios.

Answer 2

Como se mencionó en un comentario, Ken Baker tiene una buena visualización de una descomposición a libro abierto de $T^3$ debido a Jeremy Van-Horn Morris.

Una forma de obtener estructuras de libro abierto es comenzar con un nudo o enlace universal fibrado, y luego tirar hacia atrás la estructura de libro abierto de $S^3$ a una cubierta ramificada que se ramifica sobre ese enlace. El El enlace de Whitehead, los anillos borromeo, y el figura 8 nudo son todos los enlaces de fibra que se sabe que son universales.

De hecho, toda descomposición a libro abierto de un 3-manifold se retira como una cubierta ramificada de $S^3$ de la descomposición estándar de libro abierto del nudo.