¿Cómo puedo entender intuitivamente que la independencia es siempre simétrica?

Question

Independencia entre dos eventos, $A$ y $B$ es una relación simétrica, es decir, si $P(A \mid B) = P(A)$ entonces $P(B \mid A) = P(B)$ . La prueba es muy sencilla y se puede encontrar en el ProofWiki .

Intuitivamente, cuando pienso en la dependencia, pienso en relaciones como $A = 2*B$ . En este caso, $A$ depende claramente de $B$ (siempre es el doble de $B$ ). Sin embargo, en este caso, la ecuación no dice que el valor de $B$ depende del valor de $A$ . De hecho, si ese fuera el caso, se trataría de una definición circular. Así que, en general, cuando pienso en $A$ depender de $B$ No pienso realmente en $B$ siendo también dependiente de $A$ (incluso en nuestro día a día, esto no suele ser así). Sin embargo, en este caso, estamos hablando de dependencia y no de independencia. No obstante, si el evento $A$ no depende de $B$ , entonces el evento $A$ es independiente de $B$ (trivial). Pero ¿implica esto que la relación de dependencia es también simétrica, es decir, si $P(A \mid B) \neq P(A)$ entonces $P(B \mid A) \neq P(B)$ ?

En general, si la dependencia también es simétrica, ¿cómo entendemos intuitivamente que es así? Además, en general, ¿cómo intuitivamente ¿entiende que la independencia es simétrica?

Answer 1

$A=2B$ también es simétrica, se puede decir de forma equivalente que $B=\frac12 A$ . La "igualdad" es una relación simétrica.

La definición habitual de independencia de los acontecimientos es $\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}}\P(A \cap B)=\P(A)\P(B)$ por lo que la simetría es clara. Pero esto es una explicación matemática, y tú pides intuición.

En primer lugar, en su ejemplo Yo dependo del agua para sobrevivir, pero el agua no depende de mí usted utiliza depende en un sentido coloquial, no técnico. En ese ejemplo, no hay un modelo de probabilidad, por lo que el concepto de independencia estocástica no se aplican. Así que supongo que lo que necesitas es un análisis de los diferentes usos (y sentidos) de la palabra depende . Mirando OED los sentidos dados allí, ¡ninguno es el probabilístico! y ninguno de ellos es simétrico.

Esta intuición del uso coloquial simple no puede trasladarse al sentido técnico. Pero, más profundamente, a menudo en los usos de la estadística nos interesa más dependencia causal que es un concepto mucho más difícil que dependencia estocástica (definida simplemente como $\P(A \cap B)\not=\P(A)\P(B)$ .)

Pero es posible que eventos causalmente dependientes sean estocásticamente independientes (tal vez inusual.) Para esto ver ¿Existe algún ejemplo de dos sucesos causalmente dependientes que sean lógicamente (probabilísticamente) independientes? .

Answer 2

Puede convertir $A=2B$ a $B=A/2$ . No se trata de definiciones de variables programáticas, por lo que no hay que pensar en un solo sentido. Si $A$ es igual a $2B$ Entonces, si te doy $A$ , ciertamente se puede deducir $B$ reduciéndola a la mitad. Para los eventos diarios, $A$ y $B$ , diga que sabe $B$ depende de $A$ sin ninguna duda, por ejemplo: (A) si llueve, (B) el suelo estará mojado. Si sabemos que está lloviendo ( $A$ ), vamos a tener una idea bastante definida sobre la situación (húmeda o no) del suelo, es decir $B$ . Por el contrario, si sabemos $B$ es decir, que el suelo está mojado, sin duda nos dará una idea sobre la probabilidad de que haya llovido, $A$ . Por lo tanto, al pensar en ambos sentidos, no sólo se considera la causalidad, y se va a plantear la siguiente pregunta: ¿el conocimiento de uno implica algo sobre el otro?

Answer 3

Intuitivamente, cuando pienso en la dependencia, pienso en relaciones como A=2B. En este caso, A depende claramente de B (siempre es el doble de B). Sin embargo, en este caso, la ecuación no dice que el valor de B dependa del valor de A. De hecho, si así fuera, sería una definición circular.

Parece que estás utilizando la "causalidad" no simétrica en lugar de la "dependencia estadística" o la relación funcional.

Digamos que lanzas una pelota en un ángulo de 45 grados. Entonces la distancia $x$ en metros y velocidad $v$ en metros por segundo podría relacionarse por:

$$x = \frac{2}{9.8} v^2$$

No hay nada circular para decir que $x$ depende de $v$ ', así como ' $v$ depende de $x$ '. Al menos, no en un sentido estadístico. La dependencia aquí es que se puede predecir la velocidad a la que se ha lanzado una pelota basándose en la distancia que recorre. Y viceversa, se puede predecir la distancia que recorre una pelota en función de la velocidad a la que ha sido lanzada.

Con la causalidad sí que tienes relaciones no simétricas. Por ejemplo, hay relaciones si-entonces que se representan con una flecha no simétrica. Véase también https://en.wikipedia.org/wiki/Affirming_the_consequent

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Si dos sucesos son independientes, por lo que ninguno influye en la probabilidad del otro, entonces la probabilidad de que ambos sucesos ocurran juntos es P(a,b) = P(a)P(b), el producto de las probabilidades individuales. De ahí se deduce que P(a|b) = P(a,b)/P(b) = P(a)

Answer 4

La dependencia también es una relación simétrica.

Si el evento $A$ depende del evento $B$ entonces $P(A, B) = P(A|B)P(B) \iff P(A, B)/P(B) = P(A|B)$ . Sin embargo, dado que $P(A, B) = P(B, A)$ entonces $P(B, A) = P(B|A)P(A)$ , lo que implica $P(A, B)/P(A) = P(B|A)$ .