Demostrando que $\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{100}}<20$

Question

¿Cómo puedo probar que:

$$\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{100}}<20$$

Hago uso de la inducción?

Answer 1

Usted puede utilizar integral:

$$\frac { 1 }{ \sqrt { 1 } } +\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } +\dots +\frac { 1 }{ \sqrt { 100 } } <\int _{ 0 }^{ 100 }{ \frac { 1 }{ \sqrt { x } } } dx=20$$

Usted puede imaginar la aproximación de la integral con rectángulos de lado $\frac { 1 }{ \sqrt { n } }$$1$, le dará menos superficie que la integral debido al comportamiento de la curva.