En la mecánica lagrangiana, todas las fuerzas derivadas de las restricciones se ignoran siempre que sean "ortogonales a los desplazamientos virtuales" (véase más adelante).
De hecho, la forma general de las ecuaciones E-L para la curva $t \mapsto (t, q(t), \dot{q}(t))$ que representan el movimiento del sistema se escriben así $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T(t,q(t),\dot{q}(t))}{\partial \dot{q}^k}\right)- \frac{\partial T(t,q(t),\dot{q}(t))}{\partial q^k}= Q_k(t,q(t), \dot{q}(t))\quad k=1,2,\ldots, n$$ junto con
$$\frac{dq^k}{dt} = \dot{q}^k(t)\quad k=1,2,\ldots, n$$ donde $$Q_k(t,q,\dot{q}) = \sum_{i=1}^N {\bf F}_i \cdot \frac{\partial {\bf x}_i}{\partial q^k}\tag{1}$$ et $${\bf F}_i = {\bf f}_i + {\bf \phi}_i\tag{2}$$ es la fuerza total que actúa sobre el $i$ -punto de la materia con posición ${\bf x}_i$ en nuestro marco de referencia donde calculamos la energía cinética $T$ . En adelante, asumo que los puntos son $N$ y las coordenadas libres son $n>0$ para que $3N-n=c\geq 0$ es el número de restricciones independientes.
En (2) distingo entre fuerzas ${\bf f}_i$ cuya forma funcional la conozco en función de las posiciones y velocidades de todos los puntos de la materia del sistema lagrangiano y el fuerzas de reacción ${\bf \phi}_i$ que son incógnitas del problema y se deben físicamente a las restricciones.
En cuanto estas fuerzas reactivas satisfacen la postulado de las fuerzas reactivas ideales tenemos $$\sum_{i=1}^N {\bf \phi}_i \cdot \frac{\partial {\bf x}_i}{\partial q^k}=0\:,\qquad k=1,2,\ldots, n\tag{3}$$ y podemos ignorarlas completamente en (1) y, por tanto, también en las ecuaciones de E.-L. La potencia del método E.-L. se basa también en este hecho: las fuerzas reactivas desaparecen y las ecuaciones de escariado satisfacen las hipótesis generales que permiten la existencia y la unicidad de las soluciones. Una vez conocido el movimiento del sistema las fuerzas desconocidas ${\bf \phi}_i$ se construyen a partir de la ecuación newtoniana ${\bf \phi}_i = m_i {\bf a}_i - {\bf f}_i$ .
El postulado de las fuerzas reactivas ideales sólo requiere que (3) sea cierto.
Hay muchas formas equivalentes de plantear el mismo requisito. El enunciado "clásico" a la antigua dice $$\sum_{i=1}^N {\bf \phi}_i \cdot \delta {\bf x}_i =0 \tag{4}$$ por cada "desplazamiento virtual" $\delta {\bf x}_i$ . Sin embargo, como $$\delta {\bf x}_i = \sum_{k=1}^n\frac{\partial {\bf x}_i}{\partial q^k} \delta q^k$$ para números arbitrarios $\delta q^k \in \mathbb R$ (4) es completamente equivalente a (3).
NB . La opinión moderna al respecto es que el conjunto de fuerzas reactivas $({\bf \phi}_1, \ldots {\bf \phi}_N)$ en cada momento fijo debe ser normal a la $n$ -submanifiesto dimensional en el $3N$ espacio de configuración que consiste en todas las posibles configuraciones permitidas al sistema tomando la $3N-n$ de las restricciones. (3) simplemente lo dice.
Déjenos llegar a su sistema. Demostraré que (3) se satisface automáticamente suponiendo que el $x$ El eje no tiene fricción y la cuerda no tiene masa (por lo que transmite completamente su tensión).
Indiquemos por ${\bf X}$ la posición de $M$ y por ${\bf x}$ el de $m$ . Las coordenadas libres son $q^1=x$ y $q^2=\theta$ . Por lo tanto, tenemos
$${\bf X}(x,\theta)= x{\bf e}_x$$ $${\bf x}(x, \theta) = (x+ r \sin \theta){\bf e}_x - r \cos \theta {\bf e}_y$$
Consideremos ahora la fuerza reactiva total ${\bf \phi}_M$ actuando sobre $M$ tiene dos componentes. Uno es normal a la $x$ eje, ya que es sin fricción. El otro sólo lo proporciona la tensión $T$ de la cuerda ideal y por lo tanto $${\bf \phi}_M \cdot \frac{\partial {\bf X}}{\partial x} = {\bf \phi}_M \cdot {\bf e}_x = T \sin \theta \:,$$ $${\bf \phi}_M \cdot \frac{\partial {\bf X}}{\partial \theta} = {\bf \phi}_M \cdot {\bf 0}=0\:.$$ En cuanto a $m$ la fuerza reactiva se debe únicamente a la tensión ${\bf \phi}_m = T\cos \theta {\bf e}_y - T \sin \theta {\bf e}_x$ para que. $${\bf \phi}_m \cdot \frac{\partial {\bf x}}{\partial x} = {\bf \phi}_m \cdot {\bf e}_x = -T \sin \theta$$ $${\bf \phi}_m \cdot \frac{\partial {\bf x}}{\partial \theta} = {\bf \phi}_m \cdot (r \cos \theta {\bf e}_x+ r \sin \theta {\bf e}_y) = T \cos \theta \sin \theta -T \sin \theta \cos \theta =0\:.$$ Sumando todas las contribuciones, tenemos $${\bf \phi}_M \cdot \frac{\partial {\bf X}}{\partial x} + {\bf \phi}_m \cdot \frac{\partial {\bf x}}{\partial x} = T \sin \theta - T \sin \theta =0$$ $${\bf \phi}_M \cdot \frac{\partial {\bf X}}{\partial \theta} + {\bf \phi}_m \cdot \frac{\partial {\bf x}}{\partial \theta} = 0+ 0 =0\:.$$
Se ve que (3) se satisface y por lo tanto se pueden omitir completamente las fuerzas reactivas al escribir las ecuaciones de E.-L.
Finalmente, notando que la fuerza restante es conservadora podemos reescribir todo usando la Lagrangiana solamente como en su texto.
