Encontrar la región del plano donde una EDP de 2º orden está determinada de forma única

Question

He reducido la PDE $x^2 u_{xx}-y^2 u_{yy} -xu_x - yu_y $ a la forma canónica, la solución en general es $u = f(\phi) + g(\psi)$ , donde $\phi = xy$ , $\psi = \frac{y}{x}$

Ahora me dan las condiciones de contorno $u = x^6 + x^{-1}$ y $u_x = 2x^5 + x^{-2}$ cuando $y=x^2$ y $x\ \ge 1$ .

Puedo imponer bien estas condiciones de contorno y encontrar una solución que las satisfaga. Ahora estoy tratando de encontrar la región del plano donde la solución está determinada de forma única y estoy teniendo algunas dificultades.

Sé intuitivamente que la información en la frontera tiene que "viajar" a lo largo de las curvas características y por lo tanto la solución debe ser definida en cualquier lugar donde se pueda trazar el camino de vuelta a los datos iniciales (¿es esta la intuición correcta?) Sin embargo, estoy teniendo problemas para aplicar esto a este problema y encontrar la región correcta del plano.

Gracias por cualquier ayuda

Answer 1

Primero tratemos esto formalmente. En la curva $y=x^2$ , $x\ge 1$ tenemos $\phi\ge 1$ y $\psi\ge 1$ . Al imponer las condiciones dadas, se determinan los valores de $f(\phi)$ y $g(\psi)$ para $\phi,\psi\ge 1$ . Esta función puede hacer lo que quiera en $(-\infty,-1)$ . En términos de $xy$ -plano, la región $\phi,\psi\ge 1$ es la unión disjunta
$$\{(x,y): y\ge x, \ y\ge 1/x,\ x>0 \} \cup \{(x,y): y\le x,\ y\le 1/x, \ x<0 \} $$ La solución se determina aquí y no en otro lugar.

Pero... ¿no es extraño? ¿Cómo se propaga la condición límite al tercer cuadrante desde el primero, a través de un espacio considerable en el que no tiene influencia?

La cuestión es la interpretación de la PDE en $(0,0)$ donde degenera debido a que los coeficientes son cero. En este punto no tenemos realmente una EDP. Obsérvese que el término $g(y/x)$ ni siquiera es continua allí, a menos que sea constante. Esto nos lleva a una observación: $g(y/x)$ es no una forma más general de ese término. Tal como está escrito, debe tener el mismo valor en los puntos antípodas $(x,y)$ y $(-x,-y)$ pero esta restricción no está presente en el problema. El término $g(y/x)$ debe sustituirse por $g(\theta)$ , donde $\theta$ es el ángulo polar ans $g$ es un suave $2\pi$ -función periódica. Entonces vemos que $g$ se determina para $\pi/4 < \theta < \pi/2$ y no en otro lugar. La conclusión final es que la región de unicidad es $$\{(x,y): y\ge x, \ y\ge 1/x,\ x>0 \} $$