Un ejemplo de cadena Markov-Feller con algunas propiedades

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio polaco y $C(X)$ denotan el espacio de todas las funciones acotadas y continuas sobre $X$ . Consideramos una cadena de Markov $(\xi_n)_{n\geq 0}$ con probabilidad de transición $P:X\times \mathcal{B}_X \rightarrow \left[0,1\right]$ y asumir que el semigrupo de Markov relacionado $(P^n)_{n\geq1}$ satisface la ecuación de Chapman-Kolmogorov: $$P^{n+1}(x,A)=\int\limits_{X}P^n(y,A)\,P(x,dy), \mbox { for } x\in X,\, A\in \mathcal{B}_X.$$ Rutinariamente, definimos un operador dual $U^n$ relacionado con $P^n$ de la siguiente manera: $$U^n f(x)=\int\limits_{X} f(y)P^n(x,dy), \mbox{ for any } f\in C(X)$$ y el operador de Markov: $$P^n \mu (A)=\int\limits_{X} P^n(x,A)\, \mu(dx), \mbox{ for any } A\in \mathcal{B}_X$$ También suponemos que $P$ tiene la propiedad Feller, es decir, $Uf \in C(X)$ para cualquier $f\in C(X)$ .

Recientemente, he demostrado el siguiente teorema:

Si la cadena $(\xi_n)_{n\geq 0}$ tiene la propiedad de Feller y se cumplen las siguientes condiciones:

(i) para todos los $f\in C(X)$ con apoyo limitado la familia $\{U^n f: n \in \mathbb{N}\}$ es equicontinuo en cada punto de $X$ ,

(ii) la familia de medidas $\{P^n(x, \cdot): n\in\mathbb{N}\}$ es ajustado, para cualquier $x\in X$ ,

(iii) hay un punto $z\in X$ tal que $\bigwedge\limits_{\delta>0}\, \bigvee\limits_{N\in\mathbb{N}}\,\bigwedge\limits_{x\in X}\,P^N(x,B(z,\delta))>0$ ,

entonces, existe una única medida invariante probabilística para $(\xi_n)_{n\geq 0}$ y $(P^n(x,\cdot))_{n\geq1}$ converge a $\pi$ débilmente y uniformemente en $x$ de subconjuntos compactos de X.

Tengo problemas con dos cosas:

1. ¿La secuencia $(P^n \mu)_{n\geq 1}$ también convergen débilmente a $\pi$ para cualquier medida probabilística $\mu$ en $X$ ? (Sé que el conjunto de medidas puntuales es denso en el espacio de todas las medidas probabilísticas con topología débil, pero no puedo usarlo sin la no expansividad $P$ en la norma de variación total).

2. ¿Podría alguien dar un ejemplo de cadena de Markov - Feller, que satisfaga las condiciones (i) - (iii)?

Estaré muy agradecido especialmente por la respuesta a mi segunda pregunta.

Answer 1

Para 1., creo que esto se deduce de la convergencia de $P^n(x,\cdot)$ . Sea $f\in C(X)$ . Entonces $F_n(x) := \int f \;\;\mathrm{d}P^n(x, \cdot)$ está acotado uniformemente en $n$ (por el mismo límite que $f$ ) y converge puntualmente a $\int f\;\; \mathrm{d}\pi$ por su resultado. La convergencia dominada produce $$ \int f \;\;\mathrm{d}P^n\mu = \int F(x) \;\;\mu(\mathrm{d}x) \to \int f\;\; \mathrm{d}\pi. $$ Por lo tanto, $P^n\mu$ converge débilmente a $\pi$ .