Aquí hay una serie doble que me ha costado evaluar: $$S=\sum_{k=0}^{m}\sum_{j=0}^{k+m-1}(-1)^{k}{m \choose k}\frac{[2(k+m)]!}{(k+m)!^{2}}\frac{(k-j+m)!^{2}}{(k-j+m)[2(k-j+m)]!}\frac{1}{2^{k+j+m+1}}\text{.}$$
Estoy seguro de que $S=0$ para cualquier $m>0$ . De hecho, no tengo ninguna duda. He hecho muchas manipulaciones algebraicas, he intentado "convertirla" en una serie hipergeométrica, he comprobado tablas (Gradshteyn y Ryzhik), etc., pero no he podido ponerla en una forma a partir de la cual pueda demostrar la equivalencia a cero.
Aquí hay otra forma de la suma (bueno, espero al menos) que podría ser más fácil de trabajar:
$$S=\sum_{k=0}^{m}\sum_{j=0}^{k+m-1}(-1)^{k}\frac{m!}{k!(m-k)!}\frac{(k+m-1-j)!}{(k+m)!}\frac{(k+m-1/2)!}{(k+m-1/2-j)!}\frac{1}{2^{k-j+m+1}}\text{.}$$
He leído Matemáticas concretas y $A=B$ y miré el trabajo de Gosper y Zeilberger en busca de algunas pistas, pero no hubo ningún cigarro.
Note : $0!=1$ y $n!=n(n-1)!$ para $n\in\mathbb{N}\cup\{0\}$ . Para $n\in\mathbb{R}^+$ , $n!=n\Gamma(n)$ donde $\Gamma\colon\: \mathbb{C}\to\mathbb{C}$ y, para $\Re z>0$ y $z\notin\mathbb{Z}^{-}$ , $$\Gamma\colon\: z\mapsto \int_0^\infty t^{z-1}\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t\text{.}$$ que puede extenderse analíticamente a $\mathbb{C}$ a través de la recurrencia $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$ .
