Acotar el $\ell^{1}$ dada la norma $\ell^{2}$ norma

Question

Supongamos que $x = (x_{1}, x_{2}, \ldots) \in \ell^{2}$ . Si $\sum_{n = 1}^{\infty}n|x_{n}|^{2} \leq 1$ ¿es posible limitar $\sum_{n = 1}^{\infty}|x_{n}|$ ?

Answer 1

No, incluso puede ser posible que $\sum_n n|x_n|^2$ es finito pero $\sum_n|x_n|$ diverge. Por ejemplo, tomemos $$x_n:=\frac 1{n\log n}.$$