Investiga si la transformación dada es un monomorfismo / epimorfismo. Encontrar la imagen y el núcleo

Question

Tengo serias dudas - Estaré muy agradecido si alguien me ayuda aquí

Investiga si la transformación dada es un monomorfismo / epimorfismo. Encuentra su imagen y su núcleo. $$ F \in L(\mathbb R[x]_3,\mathbb R[x]_3), F(p)(t) = p(t+1) - p(t) $$

Mi intento

Bien, dejemos $$ p(t) = ax^3 + bx^2 + cx + d $$ entonces $$F(p)(t) = ... = 3ax^2 + 3ax + 2bx + 3 = x^2(3a)+x(3a+2b) +3 = a(3x^2+3x) + b(2x) + 3 $$ ¿Es un monomorfismo? dejemos que $m_0 = 0 \wedge m_1 = 3a \wedge m_2 = 3a+b \wedge m_3 = 3$
así que $a = \frac{m_1}{3} \wedge b = \frac{m_2-m_1}{2} $
así que $a$ y $b$ se determinan de forma inequívoca por lo que es un monomorfismo

No es epimorfismo porque $ x^3 \in\mathbb R[x]_3 $ pero no puedo conseguir $x^3$ en el uso de $F$

$\ker F = \left\{ 0 \right\} $ debido a la parte $ 3 $ nunca será el polinomio cero

Si se trata de imagen, lo comprobamos: $$F(p)(t) = ... = a(3x^2+3x) + b(2x) + 3 $$ así que $ im(F) = span(3x^2+3,2x,3) $ Además este sistema es linealmente independiente por lo que $rank(F) = 3$

¿Lo he hecho correctamente? ¿O hay algo que arreglar?

Answer 1

Tienes una contradicción en tu solución: si el mapa es inyectivo debe ser también suryectivo, porque es un mapa lineal de un espacio vectorial de dimensión finita a sí mismo.

Es mucho más fácil con las matrices. Si se considera la base estándar $\{p_0=1,p_1=t,p_2=t^2,p_3=t^3\}$ , entonces se ve que $$ F(p_0)=0,\quad F(p_1)=1,\quad F(p_2)=2t+1\quad F(p_3)=3t^2+3t+1 $$ y por lo tanto la matriz de $F$ es \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

¿Cuál es el rango de esta matriz?

---

¿En qué te has equivocado? La imagen de $p(t)=at^3+bt^2+ct+d$ es \begin{align} p(t+1)-p(t) &=at^3+3at^2+3at+a+bt^2+2bt+b+ct+d-at^3-bt^2-ct-d\\ &=3at^2+(3a+2b)t+(a+b+c) \end{align} que es cero cuando \begin{cases} 3a=0\\ 3a+2b=0\\ a+b+c=0 \end{cases} así que cuando $a=b=c=0$ . Pero $d$ puede ser cualquier cosa. Por lo tanto, la nulidad es $1$ y el rango es $3$ .