Dejemos que $R$ sea una relación reflexiva y transitiva sobre un conjunto $S$ . Sea $R^*$ sea la relación dual, $(a,b) \in R^*$ si y sólo si $(b,a) \in R$ . Demostrar que $R \cap R^*$ y $R \cup R^*$ son relaciones de equivalencia.
Mi intento: Por definición 6.2.3
R es reflexivo si $(\forall x \in S)(b,b) \in R]$
R es transitivo si $(\forall x, y, z \in S)[((b,a) \in R \land (a,c) \in R) \rightarrow (b,c) \in R]$ .
Al principio quería refutar la afirmación. Pensé que R no sería una relación de equivalencia porque sólo era reflexiva y transitiva, no simétrica. Y por la definición de intersección de conjuntos para $R \cap R^*$ Pensé que $R$ y $R^*$ deben ser ambos una relación de equivalencia . Sin embargo, para la definición de unión de conjuntos, $R$ o $R^*$ puede ser una relación de equivalencia. Resulta que es posible demostrar.
Me dieron esta enorme pista durante la conferencia:
$(a,b) \in R^* \leftrightarrow (b,a) \in R$ .
Set $T = R \cap R^*$ . Demostrar que $T$ es una relación de equivalencia.
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$(a,a) \in R$ y $ (a,a) \in R^* \rightarrow (a,a) \in R \cap R^*$
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Supongamos que $(a,b) \in R \cap R^* \rightarrow (a,b) \in R$ y $(b,a) \in R \rightarrow (b,a) \in R \cap R^*$
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Supongamos que $(a,b) \in R \cap R^*$ y $(b,c) \in R \cap R^*$ entonces $(a,b) \in R$ y $(b,a) \in R$ . $(b,c) \in R)$ y $(c,b) \in R$ . Así que $(a,c) \in R $ y $(c,a) \in R$ . Así que $(a,c) \in R$ y $(a,c) \in R^*$ y $(a,c) \in R \cap R^*$
Es $R \cup R^*$ y la relación de equivalencia?
$(a,b) \in R \cup R^*$ si $(a,b) \in R$ o $(b,a) \in R$ .
$(a,b) \in R \cap R^*$ si $(a,b) \in R$ y $(b,a) \in R$
Los dos primeros funcionan, pero el último no coincide. dar un contraejemplo
Estoy pensando que el último no va a coincidir porque tenemos el elemento extra c, pero cómo lo muestro. ¿Dejo que a,b,c sean conjuntos en $R$ y $R^*$ como dejar $A =[1,2],B = [1,2]$ y $C=[1,2,3]$ ? Y luego utilizar la relación dual para ver que algo no coincide debido a la $3$ en $C$ ?
