¿Es cierto? $ba(xyx^{-1}y^{-1})=ab$ ?

Question

Supongamos que $G$ es un grupo arbitrario y $a,b,x,y\in G$ . ¿Es cierta la siguiente relación? \begin{gather*}ba(xyx^{-1}y^{-1})=ab\end{gather*}

Answer 1

En cuanto al post de @draks, en $S_3=\{\text{id},~(2,3),~(1,2),~(1,2,3),~(1,3,2),~(1,3)\}$ : $$(2,3)(1,2)[(1,3,2),(1,2,3)]\neq (1,2)(2,3)$$

Answer 2

Desde el Conmutador#Teoría_de_grupos :

El conmutador de dos elementos, $g$ y $h$ de un grupo $G$ es el elemento

$$ [g, h] = g^{−1}h^{−1}gh.$$

Es igual a la identidad del grupo $e$ si y sólo si $g$ y $h$ ir al trabajo...

En sus palabras, si $(xyx^{-1}y^{-1})=a^{-1}b^{-1}ab$ para todos $a,b,x,y\in G$ entonces $a^{-1}b^{-1}ab=e$ Por lo tanto $G$ es conmutativo.

BTW: Es cierto para los grupos arbitrarios que _[e]l cociente $G/[G,G]$ es un grupo abeliano llamado abelianización de G o G hecho abeliano [ Abelianización ]_