Grupo de automorfismo de un esquema

Question

Tengo una pregunta probablemente estúpida sobre los esquemas ... Que $S$ sea un esquema, y que $A = \mathsf{Aut}(S)$ sea su grupo de automorfismo. ¿$A$ tiene una estructura de esquema en sí, es decir, se puede ver $A$ como un esquema de grupo? ¡Gracias !

Answer 1

Que $X\to B$ y $Y\to B$ sean dos esquemas planos y proyectivos $B$($S$ ya se ha tomado ;-). Entonces

Deje que $\mathscr Hom_B(X,Y)$ sea el actuador definido por $$\mathscr Hom_B(X,Y)(Z)=\{Z{\rm -morphisms }\ X\times_B Z\to Y\times_B Z\}.$$ where $Z\to B$ is also a $B$-scheme. Then $\mathscr Hom_B(X,Y)$ is represented by an open $B$-subscheme $${\rm Hom}_B(X,Y)\subset {\rm Hilb}_B(X\times_BY).$$

El $\mathscr Hom$ functor tiene un subfuncional $\mathscr Isom$ que consiste en aquellos morfismos que definen un isomorfismo relativo. Esto está representado por un subsistema abierto $${\rm Isom}_B(X,Y)\subset {\rm Hom}_B(X,Y).$$

Ahora bien, si $B$ es un punto, $X=Y$, entonces este esquema $\rm Isom$ se puede identificar con el grupo de automorfismo de $X$.

Answer 2

Para las variedades proyectivas no virulentas, al grupo de automorfismo biracional también se le puede dar una estructura de esquema. La referencia es "Hanamura: Structure of birational automorphism groups, I: non-uniruled varieties". Como se espera, el grupo de automorfismo será un subsistema de eso.