Distribución del tiempo aleatorio para que el sistema de colas pase de lleno a vacío.

Question

Pregunta: Encuentre la distribución para el tiempo (aleatorio) que tarda un $M/M/1/2$ sistema de colas con $\lambda = \mu = 1$ para cambiar su estado de lleno a vacío. ( $\lambda, \mu$ (tasa de llegada y tasa de servicio)

Me cuesta entender esta solución, ¿alguien puede ayudarme?

Dejemos que $X_1, X_2, X_3, . . .$ sean variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas, cada una de las cuales se distribuye como la suma de dos variables aleatorias independientes que se distribuyen exponencialmente con valores esperados 1 y 1/2, respectivamente.

Además, dejemos que N sea una variable aleatoria discreta independiente del $X_n$ de tal manera que $P(N = n) = 2^{n}$ para $n = 1, 2, 3, . . .$

Entonces el tiempo aleatorio pedido se distribuye como $\sum_{n=0}^N X_n$ .

Answer 1

Dejemos que $Y(t)$ sea el tamaño de la cola en el momento $t$ . Cada $X_i$ representa el tiempo para conseguir $2$ transiciones a partir del estado en el que $Y(t)=0$ . La primera transición es $Y(t)=1$ y se produce a un ritmo exponencial $\lambda=1$ . La siguiente transición, a $0$ o $2$ se produce a un ritmo $\lambda+\mu=2$ .

Cada una de estas transiciones de dos pasos va a $Y(t)=2$ con probabilidad $1/2$ y vuelve a $Y(t)=0$ con probabilidad $1/2$ . Así que si $N$ es el número de transiciones de dos pasos hasta llegar a $Y(t)=2$ tiene $Geom(1/2)$ distribución.