Es $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\log^2 {n}}$ ¿convergente o divergente?

Question

La prueba de la relación de Cauchy da 1 (por lo que no es concluyente). He probado esto:

$$\frac{1}{n \log^2n}=\frac{1}{n \log n \log n}=\frac{1}{\log n^n \log n}\geq \frac{1}{\log n^n -n} \approx \frac{1}{\log n!}$$

Ahora bien, como $\sum 1/\log n!$ diverge, la serie original debe divergir también. Pero Wolfram Alpha dice que es convergente. ¿Cómo me he equivocado y cómo puedo resolver esto?

Answer 1

Puede que le resulte más fácil aplicar el Prueba de condensación de Cauchy :

$$\sum_{n=2}^\infty\frac1{n\log^2n}\le\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n}{2^n\log^22^n}=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2\log^22}$$

Answer 2

Fundamentalmente, lo que falló fue su cadena de desigualdades. Tenemos que $$\frac{1}{\ln \left(x^x\right)-x} \gg \frac{1}{\ln \left(x^x\right)\ln x}$$ al contrario de lo que implicaría su cadena de desigualdades.