Dejemos que
- $(\Omega,\mathcal A,\operatorname P)$ sea un espacio de probabilidad y $\lambda$ sea la medida de Lebesgue en $[0,\infty)$
- $(H,\left\|\;\cdot\;\right\|)$ sea un espacio de Banach sobre el campo $\mathbb F\in\left\{\mathbb R,\mathbb C\right\}$
- $(X_t)_{t\ge 0}$ ser un $H$ -proceso estocástico continuo casi seguro en $(\Omega,\mathcal A,\operatorname P)$
Dejemos que $\omega\in\Omega$ con $X(\omega)\in C^0([0,\infty);H)$ . Entonces $$X_{[a,b]}(\omega)\text{ is compact in }(H,\left\|\;\cdot\;\right\|)\;\;\;\text{for all }0\le a\le b<\infty\;$$ Especialmente, $X(\omega)\in\mathcal L_{\text{loc}}^p(\lambda;H)$ y por lo tanto $$X(\omega)\varphi\in\mathcal L^p(\lambda;H)\;\;\;\text{for all }\varphi\in C_c^\infty([0,\infty);H)$$ para todos $p\in [1,\infty)$ . Así, podemos ver $X(\omega)$ como una distribución $$C_c^\infty([0,\infty);H)\to H\;,\;\;\;\varphi\mapsto\int X(\omega)\varphi\;{\rm d}\lambda\;.\tag 1$$
¿Hay algo que me falte? ¿Son erróneas algunas de mis conclusiones? ¿Y cuál es la derivada distributiva de $X$ ?
[He leído el artículo de la Wikipedia sobre la derivada distributiva, pero no sé cómo hay que trasladar la definición al entorno descrito aquí].
EDITAR : La pregunta surgió al ver que la gente hablaba de la derivada distributiva de un movimiento browniano (cilíndrico) en un espacio de Hilbert sin dar una definición de lo que quieren decir. Como señaló @charlestoncrabb, mi intento en $(1)$ parece estar equivocado, ya que el producto $X(\omega)\varphi$ no está definido. Tal vez tengamos que dejar que $H$ sea un espacio de Hilbert con producto interior $\langle\;\cdot\;,\;\cdot\;\rangle$ y reemplazar $X(\omega)\varphi$ por $\langle X(\omega),\varphi\rangle$ . Por la misma argumentación que antes, la integral existiría. Pero sinceramente, sólo estoy suponiendo. Hasta ahora, no he conseguido generalizar la noción habitual a este escenario, pero ya que la gente la utiliza, debe existir alguna noción de derivada distributiva de $X$ .
