La construcción de un conjunto Vitali

Question

¿Puede alguien explicar el concepto de Conjunto Vitali ? No soy capaz de entender la construcción del conjunto.

Answer 1

Tienes los números reales, $\mathbb R$ . Tienes los números racionales dentro de ellos, $\mathbb Q$ .

Podemos definir una relación de equivalencia sobre los números reales, $x\sim y\iff x-y\in\mathbb Q$ . Por ejemplo $\pi\sim\pi+3$ y $\sqrt 2\nsim\pi$ .

Utilizando el axioma de elección podemos definir $A$ para ser un conjunto de representantes de esta clase de equivalencia. Esto significa que elegimos $A$ tal que todo número real es equivalente a exactamente un elemento de $A$ .

Si lo hacemos en el intervalo $[0,1]$ en lugar de todo $\mathbb R$ Este conjunto $A$ se llama Conjunto Vitali y podemos demostrar que no puede ser medible. Por supuesto que cualquier conjunto de representantes no es medible, sólo que es más fácil demostrarlo en el intervalo unitario.

¿Por qué el conjunto no es medible? Pues bien, obsérvese que si tomamos las traslaciones $A_q=\{a+q\pmod 1\mid a\in A\}$ por cada $q\in\mathbb Q\cap[0,1)$ entonces tenemos una familia contable de conjuntos disjuntos por pares cuya unión es exactamente $[0,1]$ . Dado que la medida de Lebesgue es invariable por traslación, todos los conjuntos deben tener la misma medida.

Tenemos que $m([0,1])=\sum m(A_q)=\sum_{i=1}^\infty m(A)$ . Sin embargo, la suma de un número positivo constante puede ser $0$ ou $\infty$ , ninguno de los cuales es la medida de $[0,1]$ . Esto demuestra que el conjunto $A$ no puede ser medible .

Answer 2

$\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\newcommand{\nm}{\mathcal{N}}$ He visto al menos dos construcciones que conducen a conjuntos llamados Vitali.

A continuación consideraremos la medida de Lebesgue.

Dejemos que $S\subseteq\R^d$ . Definir una relación de equivalencia en $S$ por $$x\sim y\iff x-y\in\Q^d.$$ Dejemos que $S/\sim$ sea el conjunto de clases de equivalencia determinado por $\sim$ . Como cada clase de equivalencia no está vacía, por el Axioma de Elección, podemos elegir un elemento de cada clase de equivalencia. El axioma de elección dice que existe una función $$f:(S/\sim)\to S=\bigcup_{A\in S/\sim}A,\quad \text{ so that }\quad f(A)\in A.$$ Definir $$V_d(S):=\{f(A):A\in S/\sim\},$$ es decir $V_d(S)$ es el conjunto formado por escoger exactamente un elemento de cada clase de equivalencia y ponerlos todos juntos.

La primera construcción que he visto es mediante el establecimiento de $S=\R^d$ (en realidad, fue con $d=1$ y $S=\R$ ). Por lo tanto, dejemos que $V=V_d(\R)$ . Veamos por qué $V$ no es medible.

Lema. Dejemos que $E\subseteq\R$ . Si $E$ es medible y $m(E)\gt 0$ , entonces el conjunto $$E-E:=\{x-y:x,y\in E\}$$ contiene una bola abierta centrada en el origen.

El Lemma anterior es el teorema enunciado y demostrado aquí .

Obsérvese que el conjunto $V-V$ no contiene ningún punto de $\Q^d$ ya que $\Q^d$ es denso en $\R^d$ esto dice que no puede haber bolas abiertas contenidas en $V-V$ . Por el lema, sólo hay dos posibilidades: $m(V)=0$ ou $V$ no es medible. Si $m(V)=0$ , dejemos que $\{q_k\}_{k\in \N}$ sea una enumeración de $\Q^d$ . Se puede ver que los conjuntos $$V+q_k:=\{x+q_k:x\in V\}$$ son disjuntos, medibles y $m(V+q_k)=m(V)=0$ . También puede ver que $\R^d$ es la unión disjunta $$\R^d=\bigcup_{k\in\N} V+q_k$$ y luego $$\infty=m(\R^d)=m\left(\bigcup_{k\in\N} V+q_k\right)=\sum_{k\in\N} m(V+q_k)=0.$$ Esto es un absurdo. Por lo tanto, $V$ no es medible y esa es nuestra $d-$ conjunto dimensional de Vitali.

La segunda es mediante el establecimiento de $d=1$ y $S=[0,1]$ . Por lo tanto, dejemos que $\nm=S_1([0,1])$ . Sea $\{r_k\}_{k\in\N}$ sea una enumeración de $\Q\cap [-1,1]$ . Consideremos, de nuevo, los conjuntos $$\nm_k=\nm+r_k,$$ son disjuntos y se puede ver que $$[0,1]\subset\bigcup_{k\in\N} \nm_k\subset[-1,2].$$ Una vez que asumimos la mensurabilidad de $\nm$ obtenemos la mensurabilidad del $\nm_k$ Además, $m(\nm_k)=m(\nm)$ para todos $k$ . Así, $$\begin{align*} m([0,1])\leq & \sum_{k\in\N} m(\nm_k)\leq m([-1,2])\\ 1\leq &\sum_{k\in\N } m(\nm)\leq 3. \end{align*}$$ Si $m(\nm)=0$ obtenemos $1\leq 0$ y si $m(\nm)\gt 0$ obtenemos $\infty\leq 3$ . Por lo tanto, $\nm$ no es medible.