Homeomorfismos de espacios topológicos, ¿son las topologías isomorfas?

Question

Digamos que tenemos dos espacios topológicos $(X, \tau_X )$ , $(Y, \tau_Y )$ . Según entiendo, un homeomorfismo entre dos espacios topológicos es un isomorfismo $\phi : X\rightarrow Y$ pero ambos $\phi$ y $\phi^{-1}$ tienen la propiedad adicional de ser continuos, lo que significa que la preimagen de los conjuntos abiertos en el codominio son abiertos, es decir $\forall V\in \tau_Y $ tenemos $\phi^{-1}(V) \in \tau_X$ y la imagen de los conjuntos abiertos en el dominio es abierta, es decir $\forall U \in \tau_X$ tenemos $\phi(U)\in \tau_Y$ .

Por lo que veo, es la continuidad de $\phi$ lo que le hace respetar la estructura adicional de las topologías. Pero, ¿la continuidad implica que las topologías $\tau_X$ y $\tau_Y$ son isomorfos como conjuntos? Citando a wikipedia:

Los homeomorfismos son los isomorfismos en la categoría de espacios topológicos, es decir, son los mapeos que preservan todas las propiedades topológicas de un espacio dado.

Quiero decir que seguramente dos conjuntos isomórficos con topologías isomórficas son topológicamente equivalentes, ¿no? Me pregunto si lo contrario a esta afirmación es cierto.

Gracias por las respuestas.

Answer 1

Para ampliar el comentario de @Crostul:

para un mapeo determinado $f:X \to Y$ entre dos conjuntos la continuidad es una noción relativa, que depende también de las topologías sobre el dominio y el codominio.

$f$ es continua si $f^{-1}(\tau_Y) \subset \tau_X$ . aquí vemos una topología en $S$ como un subconjunto de $\mathfrak{P}(S)$ que satisface las condiciones habituales para los conjuntos abiertos.

Otra forma de decir esto es que la topología en $X$ se retiró a través de $f$ de $Y$ es más débil que la topología original en $X$ ("más débil" no excluye la igualdad).

en el caso de la biyección $f^{-1}$ es también un mapeo, por lo que la continuidad en esta dirección requiere una condición similar $f(\tau_X) \subset \tau_Y$ es decir, la topología empujada desde $X$ a través de $f$ a $Y$ es más débil que la topología original en $Y$

desde $f$ y $f^{-1}$ son biyectos, la continuidad en ambas direcciones obliga a una biyección entre las topologías.

Answer 2

Creo que te refieres al concepto de isomorfismo en una categoría.

• En la categoría de espacios topológicos Top los homeomorfismos son isomorfos de objetos en Top que son espacios topológicos.

• En la categoría de Sets, Set las biyecciones son isomorfismos de conjuntos.

• En la categoría de Grupos, Grupo Los isomorfismos de grupos son isomorfismos de grupos.

Los isomorfismos nos dan una especie de noción de "equivalencia" en una categoría.