Prueba elemental de que $x^x \geq x!$

Question

¿Existe alguna prueba elemental de que $x^x \geq x!$ para números naturales $x$? No estoy buscando un argumento heurístico como el que hay $x$ términos en $x^x$ y $x!$ y como casi cada término en $x \times x \times .... \times x$ es mayor que casi cada término en $x(x-1)(x-2)...(1)$, entonces $x^x \geq x!$

Answer 1

Para $n=1$ es válido. $$1!\leq 1^1$$ Supongamos que para $n$ es válido: $$n!\leq n^n$$

Multiplicar por $n+1$ ambos lados

$$(n+1)!\leq n^n(n+1)\leq(n+1)^n(n+1)=(n+1)^{n+1}$$

El último paso es porque si $n\leq n+1$ entonces $n^n\leq (n+1)^n$

Answer 2

Pista: Demuestra que $\ln \, x^x \geq \ln x!$ (para $x\geq 0.$)

Edición Dado que $\ln x \geq \ln i$ para $i \leq x,$ tenemos $$ \ln x+\ln x +\cdots \text{ (en total $x$ veces)}+\ldots \geq \ln 1 +\cdots \ln x, $$ o $$x \ln x \geq \sum_{i=1}^x \ln i=\ln x!.$$

Answer 3

Realmente no llamaría "heurístico" al argumento que mencionas. Simplemente nota que $$\dfrac{n^n}{n!}=\frac{n}{n} \frac{n}{n-1} \frac{n}{n-2}\cdots \frac{n}{2} \frac{n}{1}\geq 1$$ Esto se debe a que cada término en el producto es mayor o igual a 1.