Problema de geometría sobre ángulos y triángulos en una circunferencia: demostrar que $E\widehat OA = 3\cdot B\widehat CO$

Question

Dejemos que $AB$ sea una cuerda de un círculo de radio $r$ y extender la cuerda por una línea $BC$ de longitud $r$ . Únase a $C$ con el centro $O$ y extender la línea hasta que se encuentre con la circunferencia en $E$ .

Demostrar que el ángulo $E\widehat OA$ es tres veces el ángulo $B\widehat CO$ .

Mi intento hasta ahora: si se extiende la línea $BO$ y llamar a $P$ la intersección con la circunferencia de che, entonces se obtiene $E\widehat OP = B\widehat OC = B\widehat CO$ .

Entonces basta con demostrar que $A\widehat OP$ es cuatro veces $B\widehat CO$ . Por último, el ángulo $A\widehat OP$ es el doble del ángulo $A\widehat BP$ (para las cosas de la circunferencia y los ángulos centrados) y entonces lo mejor es conseguir que necesito probar $A\widehat BO$ es dos veces $B\widehat CO$ .

¿Qué hacer ahora? Cualquier sugerencia es bienvenida.

Answer 1

Se tiene usando la propiedad del ángulo externo en un triángulo

$$\begin{align}\widehat{EOA}&=\widehat{OCB}+\widehat{OAB}\\ \widehat{POA}&=\widehat{OBA}+\widehat{OAB}=2\widehat{OAB}\\ \widehat{POA}&=\widehat{POE}+\widehat{EOA}=\widehat{OCB}+\widehat{EOA}\end{align}$$

Sustituyendo deducimos

$$\widehat{EOA}=\widehat{OCB}+{\widehat{OCB}+\widehat{EOA}\over 2}$$

Simplificando

$$\widehat{EOA}=3\widehat{OCB}$$

Answer 2

$$\angle EOA = \angle BAO + \angle ABO - \angle BOC =\\ 2 \angle ABO - \angle BCO =\\ 4\angle BCO - \angle BCO = 3 \angle BCO$$

Lo único que utilizamos fue el hecho de que un ángulo externo de un tringulo es igual a la suma de los otros dos ángulos internos del mismo.