Lo que hace un límite "va a desaparecer"?

Question

De acuerdo a este video $$\lim\limits_{x\to\infty} \frac{11 - e^{-x}}{7} = \frac{11}{7}$$

Entiendo cómo funciona esto, no entiendo el límite de la parte sin embargo. Sé $\lim\limits_{x\rightarrow \infty}{e^{-x}} = 0$, pero lo que hace que el límite de desaparecer? Mi conclusión es que desaparece ya sea porque:

Una. No hay más variables en la ecuación, de modo que ningún punto a tener un límite, así que acaba de empezar a ignorar

B. Se ha utilizado una vez en ella desaparece.

Opción B parece más probable, pero también es confuso, porque sólo un término que parecía ser efectuada por el límite.

Answer 1

El límite de una constante es simplemente el valor de la constante, y al $\lim f(x)$ $\lim g(x)$ ambos existen, de satisfacer $$\lim(f(x)+g(x)) = \lim f(x) + \lim g(x)$$ $$\lim(f(x)g(x)) = \lim f(x) \cdot \lim g(x)$$ En otras palabras, aquí lo tiene $$\lim \frac{11-e^{-x}}{7} = \lim \frac{1}{7} \cdot \lim(11-e^x) = \lim \frac{1}{7}(\lim 11 - \lim e^{-x})$$ Desde $\frac{1}{7}$ $11$ son constantes, $\lim e^{-x} = 0$, se obtiene $$\lim \frac{11-e^{-x}}{7} = \frac{1}{7} \cdot (11 + 0) = \frac{11}{7}$$

(He dejado el subíndice $x \to \infty$ de descuento en el límite de signos.)

Answer 2

La opción (a) es casi justo!

Específicamente, se trata de una propiedad de los límites que si $c$ es una constante, \begin{equation*} \lim_{x\to a}{c}=c. \end{ecuación*} Usted puede comprobar esto mediante la definición de un límite (es decir, el uso de un $\delta$-$\epsilon$ la prueba).

Por lo $\lim_{x\to\infty}{\frac{11}{7}}=\frac{11}{7}$, sin límite en el lado derecho, justo como $\lim_{x\to\infty}{e^{-x}}=0$, sin límite en el lado derecho.

Answer 3

Si estamos continuamente ampliar el real exponencial a tener valores de $e^{+\infty} = +\infty$$e^{-\infty} = 0$, entonces esto puede ser visto como tomar el límite de una función continua, que se puede hacer conectando el valor de limitación:

$$\lim_{x\+\infty} \frac{11 - e^{-x}}{7} = \frac{11 - e^{-(+\infty)}}{7} = \frac{11 - e^{-\infty}}{7} = \frac{11 - 0}{7} = \frac{11}{7} $$

Answer 4

Puedo adivinar que su duda se trata de un primer paso que debes de hacer en su mente que va como esto: "$\lim_{x\rightarrow \infty}{e^{-x}} = 0$, de modo que pueda reemplazar las $e^{-x}$ $0$ en el texto y yo me quedo con $$ \lim_{x\to ∞} \frac{11-0}{7}, $$ entonces, ¿qué sucede al límite en esta última ecuación?"

Esto refleja un malentendido común. Repita después de mí: en un límite, uno no puede sustituir a la arbitraria subexpresiones con su límite. No hay ningún teorema que dice que. Si usted ha estado haciendo eso, estás equivocado; cambiar sus hábitos.

Para un ejemplo más sencillo cuando esto no funciona, $\lim_{x\to 0} x = 0$, pero $$ \lim_{x\to 0} \frac{x+x^3}{x^2} \neq \lim_{x\to 0} \frac{0+x^3}{x^2}. $$

Clive Newstead y Ilmari Karonen las respuestas muestran algunas alternativas de manipulaciones que son legítimos por los teoremas.

Answer 5

Como EPAstor notas, su razón (a) está más cerca de la verdad, pero no la completa respuesta.

La razón por la $\displaystyle \lim_{x \to \infty} e^{-x} = 0$ implica $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{11 - e^{-x}}{7} = \frac{11}{7}$ es que

$$\lim_{x \to \infty} \frac{11 - e^{-x}}{7} = \frac{\lim_{x \to \infty} 11 - e^{-x}}{7} = \frac{11 - (\lim_{x \to \infty} e^{-x})}{7} = \frac{11 - 0}{7} = \frac{11}{7}$$

y la razón por la que puede moverse el límite interior de la fracción como que es que las funciones $$z \mapsto 11 - z \quad \text{and} \quad z \mapsto \frac z 7$$ ambos están en todas partes continuo. Es un lugar sencillo consecuencia de la definición de continuidad (la prueba!) que, si una función $f$ es continua en a $c = \displaystyle\lim_{x \to a} z(x)$, luego $$\lim_{x \to a} f(z(x)) = f(\lim_{x \to a} z(x)) = f(c).$$