comparación de la cohomología de Rham y la cohomología etale

Question

Tengo una pregunta básica sobre la comparación de diferentes teorías de cohomología. Sea $X$ una variedad suave proyectiva (o simplemente suave adecuada) sobre un campo separado $k$ de la característica $p,$ que no se puede levantar a la característica cero. ¿Hay alguna relación entre la cohomología de Rham $H^n(X,\Omega^{\bullet}_X)$ y la cohomología $\ell$-ádica? Por ejemplo, ¿tienen la misma dimensión (más de $k$ y $Q_l$ resp.)?

Answer 1

Creo que la respuesta es no, que estos dos espacios no necesitan tener la misma dimensión de espacio vectorial. Grothendieck cita aquí un ejemplo de Serre en una nota al pie de la última página; desafortunadamente, no tengo acceso al papel original de Serre en este momento.

http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1966_29_95_0