¿Es todo campo el campo de fracciones de un dominio integral que no es a su vez un campo?
¿Y el campo de los números reales?
Respuesta
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Cada campo $F$ de característica cero o de característica primera pero no algebraico sobre su campo primo es el campo de fracciones de un subringulo propio de $F$ . Pero ninguna extensión algebraica de $\mathbb F_p$ es, ya que sus únicos subrings son campos.
Si $F$ no es una extensión algebraica de algún $\mathbb F_p$ entonces $F$ contiene un subring $A$ isomorfo a $\mathbb Z$ o $\mathbb F_p[X]$ . Cada uno de estos anillos $A$ tiene un valoración $v$ . La valoración $v$ puede prolongarse hasta $F$ . Su anillo de valoración es un subringulo propio de $F$ cuyo campo cotizante es $F$ .
