El gradiente como caso especial del diferencial (o de empuje)

Question

Estoy tropezando con algo elemental (creo).

Dado un mapa suave $f\colon M\to N$ entre variedades suaves, el diferencial de $f$ en $p\in M$ se define como \begin{align}\mathrm{d}_pf \colon T_pM &\to T_{f(p)}N\\ X&\mapsto X(-\circ f)\end{align} El gradiente de $f\colon M\to \mathbb{R}$ en $p$ es, si entiendo bien, sólo la definición anterior con $T_{f(p)}\mathbb{R}\cong\mathbb{R}$ . Pero aquí es donde me confundo, porque inmediatamente después del gradiente de $f$ se define por $$\mathrm{d}_pf(X):=X(f), \qquad \text{ with }X\in T_pM.$$ Entiendo esto, ya que $\mathrm{d}_pf\colon T_pM\to\mathbb{R}$ (linealmente) es un covector y el lado derecho funciona, pero ¿cómo puedo ver esto como un caso especial de lo anterior? (es decir, ¿por qué el $``\, -\ \circ\,''$ se deja caer).

¿Y cómo los elementos de $T_{f(p)}\mathbb{R}$ actúan sobre funciones reales? (quizás esto es más bien lo que estoy buscando).

Answer 1

El isomorfismo $$\iota_n:T_p\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$$ viene dada por $X \mapsto \left(X(\pi_1),\cdots,X(\pi_n)\right)$ , donde $\pi_i$ son las proyecciones sobre el $i$ - en una coordenada.

En el caso particular de $\mathbb{R}$ tenemos entonces que el isomorfismo $$\iota_1:T_p\mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ viene dada por $X \mapsto X(\mathrm{Id})$ , donde $\mathrm{Id}$ es la identidad. Por lo tanto,

$(\iota_1\circ d_pf)(X)=\iota_1((d_pf)(X))=\iota_1(X (-\circ f))=X(\mathrm{Id} \circ f)=X(f).$