Dejemos que $T :R^3 \rightarrow R^3$ sea una transformación lineal y B sea una base para $R^3$ tal que $B = ((1,1,0),(0,1,0),(0,1,1))$ y $E$ es la base estándar
$[T]_B = \begin{bmatrix}1&0&0\\1&1&-1\\-1&-1&1\end{bmatrix}$
Encuentre $T(x,y,z)$ para todos $(x,y,z) \in R^3$
Llevo unas cuantas horas intentando descifrar esta pero sigo obteniendo una respuesta errónea, mi solución va así: encontrar $[T]$ como sigue $[T] = [T]_E = [I]^B_E[T]_B[I]^E_B$
y luego calcular $[T]\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}$ para encontrar $T(x,y,z)$ . Así que primero hay que encontrar $[I]^B_E$ Pongo los vectores de B como las columnas de una matriz para que $[I]^B_E = \begin{bmatrix}1&0&0\\1&1&1\\0&0&1\end{bmatrix}$ después de calcular la inversa obtengo que $[I]^E_B = \begin{bmatrix}1&0&0\\-1&1&-1\\0&0&1\end{bmatrix}$
así que $[I]^B_E[T]_B[I]^E_B$ = $\begin{bmatrix}1&0&0\\1&1&1\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0\\1&1&-1\\-1&-1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0\\-1&1&-1\\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\1&0&0\\0&-1&2\end{bmatrix} = [T]$
lo que lleva a $[T]\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x\\x\\-y+2z\end{bmatrix}$ Sin embargo, la solución oficial a este problema es $T(x,y,z) = (x,x,-2x-y+2z)$
Supongo que me equivoqué al suponer que la construcción de una matriz a partir de los vectores base como columnas me daría $[I]^B_E$ o de mi suposición de que $[T] = [T]_E = [I]^B_E[T]_B[I]^E_B$ ya que ambos se me ocurrieron usando la experimentación sin ver una prueba
Cualquier ayuda será muy apreciada.
