Determinación de la hiperbolicidad global

Question

Dada una métrica del espaciotiempo, ¿cómo se puede demostrar que el espaciotiempo es globalmente hiperbólico? Sé que una métrica globalmente hiperbólica tiene una superficie de Cauchy, pero ¿cómo podemos determinar la existencia de una superficie de Cauchy? Por ejemplo, dada la métrica de Kerr o la de Schwarzschild, ¿podemos encontrar una superficie de Cauchy? ¿Cuál es el procedimiento para demostrar que tiene una superficie de Cauchy?

P.D. Hay un Pregunta de StackExchange sobre la determinación de la hiperbolicidad global sin ninguna respuesta. Estoy pidiendo un procedimiento general como en esta pregunta, pero también sería útil si alguien puede elaborar sobre cómo podemos saber que incluso una métrica de Schwarzschild más simple tiene una superficie de Cauchy.

Answer 1

La definición que he visto es en realidad que un espaciotiempo es globalmente hiperbólico si (1) no tiene CTCs, y (2) la intersección de un cono de luz futuro con un cono de luz pasado es siempre compacta. Entonces se puede demostrar que dicho espaciotiempo tiene superficies de Cauchy (Geroch 1970).

Normalmente, las definiciones no se asocian directamente con una receta única para comprobar si la definición es válida.

Has preguntado por los espacios-tiempo de Kerr y Schwarzschild.

Para muchos ejemplos sencillos, la determinación de que un espaciotiempo es globalmente hiperbólico es inmediata a partir de su diagrama de Penrose. Por ejemplo, si se dibuja el diagrama de Penrose para el espaciotiempo de Schwarzschild, las condiciones 1 y 2 son claramente ciertas.

No creo que el espaciotiempo de Kerr sea globalmente hiperbólico, porque tiene CTC.

P.D. Hay una pregunta en StackExchange sobre la determinación de la hiperbolicidad global sin respuesta.

Por favor, enlaza con él.

Answer 2

No es tan sencillo demostrar que un espaciotiempo es globalmente hiperbólico porque requiere un buen conocimiento del comportamiento global de las geodésicas (nulas). Parte de esa información podría estar codificada en un diagrama de Penrose (véase, por ejemplo, arXiv:1211.1718 para una afirmación rigurosa), pero hay que deducirla de un modo u otro.

En el caso del exterior de Schwarzschild, existen criterios que hacen el trabajo con relativa facilidad, véase por ejemplo arXiv:0712.0600. La prueba de la hiperbolicidad global de la región exterior de Kerr (y su extensión a algunas regiones más grandes) se encuentra en el Apéndice C.6 de arXiv:2008.10995 y es bastante más difícil.

Hay que tener en cuenta que la métrica de Kerr se extiende a regiones aún mayores y que en algún momento surgen curvas cerradas parecidas al tiempo (véase, por ejemplo, el libro de O'Neill), por lo que estas extensiones no son globalmente hiperbólicas. Pero como modelo físico es la región exterior y su extensión a través del horizonte de sucesos lo más útil.