Una pregunta desde el reino de los sueños

Question

Deje $\phi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ser una función (no necesariamente continua).

Deje $\phi_0(x)=\phi(x)$$\forall k\in\mathbb{N},\phi_{k+1}(x)=\phi(x\cdot\phi_k(x))$.

• 1. Deje $k\in\mathbb{N}^*$. ¿Qué se puede decir del conjunto de funciones $\phi$ verificación de $\forall x\in\mathbb{R},\phi(x)=\phi_k(x)$ ?

• 2. ¿Qué se puede decir del conjunto de funciones $\phi$ verificación de $\forall x\in\mathbb{R},\exists k\in\mathbb{N}^*,\phi(x)=\phi_k(x)$ ?

• 3. Deje $x_1,\dots,x_n\in\mathbb{R}$. . Podemos construir no trivial (como en, la no asignación de la $x_i$ $0$o términos que, sumados, hacen de $0$) $\phi$ tal que $\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\sum_{i=1}^n\phi_k(x_i)$ es convergente ?

• 4. Por lo que las funciones de $\phi$ es la suma de $\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\phi_k(x)$ convergente para todos los $x\in\mathbb{R}$? Absolutamente convergente ?

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Contexto :

En un sueño que tuve esta mañana, yo estaba pasando un examen oral y el examinador me entregó la hoja de ejercicio, en el que podía leer una línea : $\phi(x_1)+\phi(x_2)+...+\phi(x_1\phi(x_1))+\phi(x_2\phi(x_2)+\dots$. Por desgracia, me desperté justo después y por lo tanto no tienen tiempo para leer el resto del artículo. Sin embargo, como me pareció interesante , me escribió que la línea de abajo a recordar. Pensando acerca de esto durante el día, las preguntas anteriores se levantó, y yo estaría muy interesado en tener resuelto.

Answer 1

Que puedo decir un par de cosas acerca de la parte 4). Para la suma de los convergen para algunos $x_0$ es necesario que

$$\lim_{k\to\infty} \phi_k(x_0) = 0$$

Si $\phi(x)$ es una función continua en todas partes, $\phi_k(x)$ es así y podemos tomar el siguiente límite

$$\lim_{k\to\infty} \phi_{k+1}(x_0) = 0 = \lim_{k\to\infty} \phi(x_0\phi_k(x_0)) = \phi(x\cdot 0) = \phi(0)$$

Por lo tanto, $\phi$ tiene que ser $0$ a $x = 0$. Ahora supongamos que $\phi(x)$ es una potencia de la serie convergente para todos los números reales. Podemos decir

$$\phi_0(x) = xg_0(x)$$

donde $g_0(x)$ es administrado por una potencia de la serie, comenzando con la $x^0$ plazo. La iteración de la recurrencia, mantener el seguimiento de los coeficientes constantes y el uso de la inducción tenemos que

$$\phi_k(x) = x^{k+1}g_k(x)$$

donde $g_k(x)$ comienza con un $x^0$ plazo. Ahora, vamos a tratar algunas de las funciones de $g_0(x)$. La forma más fácil de probar es $g_0(x) = 1$. Entonces

$$\phi_k(x) = x^{k+1}$$

y

$$\sum_{k=0}^{\infty} \phi_k(x) = \sum_{k=0}^\infty x^{k+1} = \frac{x}{1-x}$$

Mientras que $\phi(x)$ es convergente en todas partes, la suma de los recorre nos deja con una función finita radio de convergencia. En general, usted puede conseguir el iterated function $g_k$ por

$$g_{k+1}(x) = g_k(x)g_k(x^{k+2}g_k(x))$$

He aquí otro ejemplo fácil. Deje $g_0(x) = x^{p_0}$ donde $p_0$ es un entero positivo. A continuación, $g_k(x) = x^{p_k}$ algunos $p_k$ dada por

$$g_{k+1}(x) = x^{p_{k+1}} = x^{p_k}(x^{k+2}x^{p_k})^{p_k} = x^{p_k^2+(k+3)p_k}$$

Ahora

$$\sum_{k=0}^\infty \phi_k(x) = \sum_{k=0}^\infty x^{p_k + k+1}$$

$$\frac{p_{k+1}+k+2}{p_k + k+1} = \frac{p_k^2+(k+3)p_k + k+2}{p_k + k + 1}$$

que diverge como $k \to \infty$ desde $p_k$ crece sin límite, de forma que la suma de la iteración es un Lacunary función con radio de convergencia $1$. Es probablemente vale la pena suponiendo que el radio de convergencia de la suma de la recorre es finito cuando $\phi(x)$ es todo.