Uso de la ley del logaritmo iterado para calcular los límites

Question

Supongamos que $X_i$ son i.i.d, $\mathbb{E}X_1 = 0$ , $\mathbb{E}X^2_1<\infty$ y $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$ Debo calcular los tres límites siguientes:

• $\liminf_{n \to \infty} \frac{S_n}{ \sqrt{n \ln ( \ln(n))}}$
• $\lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n^{\alpha}}$ donde $\alpha > \frac{1}{2}$
• $\lim_{n \to \infty} \frac{-S_n}{\sqrt{n}lnn}$

La primera fue relativamente fácil, y conseguí $-\sqrt{2 \mathbb{E}X^2_1}$ como resultado (usando simetría y LIL Hartman's-Winter). Sin embargo, me he atascado en los dos siguientes. ¿Qué se puede hacer aquí?

Answer 1

Escriba $$\frac{S_n}{n^\alpha} = \frac{S_n}{\sqrt{n \ln \ln(n)}} \frac{\sqrt{\ln \ln (n)}}{n^{\alpha-1/2}}.$$ El primer factor está acotado por debajo mientras que el segundo va a $0$ . Así, $$\liminf_n \frac{S_n}{n^\alpha} = 0.$$ Ahora aplicando este resultado al paseo aleatorio $(-S_n)_n$ da $$0=\liminf_n \frac{-S_n}{n^\alpha} = -\limsup_n \frac{S_n}{n^\alpha}.$$ Esto demuestra que $\lim_{n\to \infty}\frac{S_n}{n^\alpha} = 0$ . El tercer límite es similar.