Interpretación geométrica de los miembros de $\mathrm{O}(2)\setminus\mathrm{SO}(2)$

Question

Hace poco me encontré con una pregunta que pedía demostrar las propiedades definitorias de las matrices ortogonales (miembros de $\mathrm{O}(2)$ ), para posteriormente determinar que se pueden escribir en la forma

$$\mathbf{R}(\varphi)=\begin{pmatrix}\cos(\varphi) & \mp \sin(\varphi) \\ \sin(\varphi) & \pm \cos(\varphi)\end{pmatrix}$$

Luego nos pregunta cuáles de estas matrices corresponden a rotaciones bidimensionales (es decir, miembros del grupo $\mathrm{SO}(2)$ ). Sin embargo, mi pregunta es la siguiente:

Cuál es la interpretación geométrica de las matrices $M\in\mathrm{O}(2)\setminus \mathrm{SO}(2)$ ?

Mi intuición es que estas matrices invierten de alguna manera los puntos que giran, porque $\det(M)=-1$ Sin embargo, no estoy seguro de que esto sea cierto y me gustaría que me lo aclararan.

Answer 1

Las matrices en $O(2) \setminus SO(2)$ son exactamente los que se pueden escribir como $FR$ , donde $R$ es una rotación, y $F$ es la matriz diagonal con $-1, 1$ como entradas diagonales, es decir, una vuelta alrededor del eje y. Así que todas las matrices de tu clase son simplemente una rotación seguida de una inversión de la orientación, o "flip", o lo que quieras.

(Prueba de mi afirmación: suponga $M$ está en $O(2)\setminus SO(2)$ . Entonces $FM$ está en $SO(2)$ porque tiene determinante $+1$ . De ahí que sea una rotación $R$ . Desde $FM = R$ y $FF = I$ tenemos $M = FFM = FR$ . )

Answer 2

Son reflexiones en torno a una línea.