La suma de $49$ números naturales es $540$ . Encuentra el mayor valor posible de su máximo común divisor.
Realmente no entiendo ni siquiera cómo debería estructurarse la prueba aquí. Hay que demostrar que el gcd de los números no supera algún número natural $d'$ ¿verdad? ¿Será suficiente? Le agradecería que me mostrara una prueba completa y formal.
Denote los números por $x_1, x_2, \ldots, x_{49}$ y su máximo común divisor por $g$ . Entonces $g \le x_i$ para cada $i$ y así $g \le \min(x_1, \ldots, x_{49})$ . Pero el mínimo es menor o igual que la media de los números, por lo que $g \le 540/49$ . Desde $g$ es un número entero tenemos $g \le 11$ .
Siguiente, $540 = x_1 + x_2 + \cdots + x_{49}$ . Sea $x_i = g y_i$ para cada $i$ La $y_i$ son enteros positivos porque $g$ es un divisor de $x_i$ . Así que $540 = g(y_1 + \cdots + y_{49})$ y por lo tanto $g$ es un factor de $540$ .
Así que $g$ no puede ser $11$ . Puede ser $10$ y podemos construir un ejemplo explícito, $x_1 = x_2 = \cdots = x_{48} = 10$ y $x_{49} = 60$ . Del mismo modo, $g$ puede ser cualquier factor de $540$ más pequeño que el 11.
Estamos tratando de satisfacer la ecuación
$$\sum_{i=1}^n a_ix_i=540$$ donde $\sum_{i=1}^n a_i=49$ y $x_i\in\Bbb N$ .
Propongo que la respuesta sea $10$ ya que tenemos $$540=48\times 10+1\times 60 \Rightarrow\gcd(10,60)=10$$ (según mi comentario anterior).
Supongamos que la respuesta es mayor que $10$ . Sabemos que el máximo $\gcd$ de un conjunto es como máximo igual a uno de los elementos del conjunto. Para producir un $\gcd$ mayor que $10$ (digamos, $11$ ), entonces debemos tener otro elemento en el conjunto que sea múltiplo de ese número (es decir $11k, k\in\Bbb N, k>1$ ). Entonces tendríamos $$a_1(11)+a_2(11k)=540.$$ Observe que esto no funciona como $540\equiv 1\pmod{11}$ o más específicamente, $540\not\equiv 0\pmod{11}$ .
Así que, además de un potencial $\gcd$ valor mayor que $10$ también debe dividir $540$ . El siguiente factor más bajo de $540$ es $12$ , por lo que podemos probar como lo hicimos anteriormente: \begin{align} a_1(12)+a_2(12k)&=540\\ 12(a_1+ka_2)&=540\\ a_1+ka_2&=45 \end{align} Pero a partir de nuestra ecuación original, necesitamos $a_1+a_2=49$ . Por lo tanto, el $\gcd$ que está buscando no puede ser $12$ ni puede ser mayor que $12$ . Por lo tanto, la respuesta debe ser $10$ .
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