Integrales de superficie con derivadas normales.

Question

Definir $G(x)= \frac{1}{4\pi ||x||}$ Supongamos que $f(x)$ es conocida, S es una superficie en $\mathbb{R}^3$ y x es fijo, $x \in S$ .

Tengo fórmulas para calcular numéricamente lo siguiente:

$$ p(x) = \int _{S}f(x') \frac{\partial G(x-x')}{\partial n' } dS' $$

Supongamos ahora que la derivada normal en la integral no se toma con respecto a $x'$ pero con respecto a $x$ . Es decir, quiero calcular lo siguiente:

$$ q(x) = \int _{S} f(x') \frac{\partial G(x-x')}{\partial n} dS' $$

Lo mejor sería, por supuesto, que pudiera utilizar los valores de las primeras integrales para calcular las segundas, pero no sé si esto sería posible.

Lo que he probado es lo siguiente: Consideramos la diferencia

$$ \begin{align} q(x)-p(x) &= \int _{S} f(x') \frac{\partial G(x-x')}{\partial n} dS' - \int _{S} f(x') \frac{\partial G(x-x')}{\partial n'} dS' \\ &= \int _{S} f(x') \left ( \frac{\partial G(x-x')}{\partial n}-\frac{\partial G(x-x')}{\partial n'} \right ) dS' \end{align} $$

Además tenemos una triangulación de $S$ y asumir que $f(x)$ es constante a trozos en cada triángulo. La superficie tiene los triángulos $\Delta_1,...,\Delta_n$ y suponemos que $f_i$ es la aproximación constante de $f$ sobre el triángulo $\Delta_i$ (así $f_i(x) = 0$ si $x$ no está en $\Delta_i$ ). Entonces podemos escribir

$$ \begin{align} q(x)-p(x) &= \sum _n \int _{\Delta _n} f_n(x')\left ( \frac{\partial G(x-x')}{\partial n} - \frac{\partial G(x-x')}{\partial n'} \right ) dS' \\ &= \sum _n f_n \int _{\Delta _n} \left ( \frac{\partial G(x-x')}{\partial n} - \frac{\partial G(x-x')}{\partial n'} \right ) dS' \\ \end{align} $$

Si ahora $x$ y $x'$ están en el mismo triángulo, entonces las normales $n$ y $n'$ son iguales y por lo tanto $q(x)=p(x)$ . Pero, ¿qué ocurre si no es así? ¿Existen otras fórmulas que puedan utilizarse para conectar $p(x)$ y $q(x)$ ? Lo que me confunde es el hecho de tomar la derivada normal con respecto a $n$ y no $n'$ en $q(x)$ .

Cualquier aportación es más que bienvenida.

Answer 1

No creo que estén relacionados de forma útil, es decir, no se puede utilizar $p$ para decirte mucho sobre $q$ . La función $p$ (el potencial de doble capa) es una integral ponderada de $f$ siendo el peso la derivada normal de $G$ en la superficie. Representa el potencial electrostático de una superficie que tiene cargas de densidad $\pm f$ en lados opuestos. (Más precisamente, tiene una densidad dipolar $f$ .)

La función $q$ por otro lado, se puede escribir como $$q(x) = \frac{\partial }{\partial n} \int _{S} f(x') G(x-x')\, dS'$$ Es decir, integramos $f$ contra el peso $G$ obteniendo así su potencial de una sola capa y tomar la derivada normal de que . Así que, $q$ representa la componente normal de la fuerza eléctrica de la superficie con densidad de carga $f$ .

Son animales diferentes: el potencial dipolar frente a la fuerza de una sola carga.