¿Cómo confirmar si un sistema puede ser resuelto por Gauss-Seidel?

Question

Dado el sistema

$$\left(\begin{matrix}5&1&2\\-2&5&2\\-1&3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_3\\x_1\\x_2\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}0\\1\\0\end{matrix}\right)$$

Tengo que decir algo sobre la convergencia de Método Gauss-Seidel .

Mi trabajo: Lo que entiendo es que en primer lugar debería mirar si se ajusta a los criterios de convergencia del método.

1. El criterio de la línea, es decir, el criterio de la diagonal dominante estricta o irreducible para la matriz de coeficientes no es cierto porque ese $3 < 1 + 3$ .
2. La simetría positivo-definido tampoco es cierto porque la matriz de coeficientes no es simétrica: por ejemplo $1\neq-2$ .
3. Tampoco encaja el criterio de Sassenfeld.

¿Podría decir como respuesta que el método podría seguir convergiendo aunque no se cumplan estos criterios? ¿Existen otras formas de demostrar que el método converge? Y lo más importante:

¿Existe un enunciado iff como 'Gauss-Seidel convergerá si algo es cierto' o al menos puede existir tal enunciado? ¿O es posible que nunca exista tal cosa?

Answer 1

Utilizando los comentarios de arriba - voy a responder a mi propia pregunta sólo para que la pregunta no quede sin respuesta - y el papel que se da en el réponse tenemos que usar el teorema:

Dejemos que $G := - (D+L)^{-1}U$ tal que $D$ , $L$ y $U$ son las partes diagonal, inferior y superior de la matriz $A$ . Sea $\sigma(G)$ sea el espectro de $G$ es decir, que sea tal que $\sigma(G)$ es el conjunto de valores propios de $G$ y definir $$\rho(G):= \max_{\lambda \in \sigma(G)}\vert \lambda \vert$$ Entonces el método converge si $$\rho(G)<1$$

Así, para esta A tenemos

$$D + L = \pmatrix{5 & 0 & 0 \\ -2 & 5 & 0 \\-1 & 3 & 3}$$

y $$U = \pmatrix{0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \\0 &0 &0}$$

Para ello tenemos que $$(D+L)^{-1} = \pmatrix{1/5 & 0 & 0\\ 2/25 & 1/5 & 0 \\-1/75 &-1/5 &1/3}$$

Así que

$$G = \pmatrix{0 & -1/5 & -2/5 \\ 0 & -2/25 & -14/25 \\0 &1/75 &32/75}$$

Ahora, encontrar los valores propios de $G$ tenemos que resolver $\det(G - \lambda I)=0$

$$\lambda\left(-\lambda^2-\frac{26}{75}\lambda - \frac{50}{1875}\right)=0$$

Las soluciones son

$\lambda_0 = 0 $ , $\lambda_{+}=\frac{26+2\sqrt{11\cdot29}}{150} \approx 0.41$ , $\lambda_{-} =\frac{26-2\sqrt{11\cdot29}}{150} \approx -0.064 $ Así conseguimos que $\rho(G) = 0.41 < 1$ por lo que el método converge.