Demuestra que $O_t$ es un proceso gaussiano

Question

Dejemos que $B_t$ sea un proceso de movimiento browniano. Sea $$O_t = e^{-\alpha t} \int^t_0 e^{\alpha s} dB_s$$ Encuentre $\mathsf{E}[O_t]$ y demostrar que $O_t$ es un proceso gaussiano.

Creo que $\mathsf{E}[O_t]=e^{-\alpha t} \mathsf{E}\left[ \int^t_0 e^{\alpha s} dB_s\right] = e^{-\alpha t} \times 0 = 0$ ya que la integral de Ito es una martingala con expectativa $0$ por definición. Pero no estoy seguro de por qué es una martingala en primer lugar...
Ni idea de cómo demostrar que es un proceso gaussiano.

¡Por favor, ayuda!

Answer 1

El integrando en la integral ito es determinista ya que exp(alpha*s) no es aleatorio. Por lo tanto, la integral ito no es más que una combinación lineal de incrementos brownianos. Los incrementos brownianos se distribuyen de forma gaussiana con media 0 y varianza igual a la longitud del intervalo de tiempo. Por lo tanto tenemos una combinación lineal de variables aleatorias gaussianas que es gaussiana.