Submódulo Isomorfo al anillo cociente

Question

Tengo algunas preguntas relacionadas con una prueba en la que estoy trabajando. En definitiva, quiero demostrar que para el ideal $I = (2,x)$ del anillo $R = \mathbb{Z}[x]$ que $I \otimes_R I$ generado por $2 \otimes x - x \otimes 2$ es isomorfo a $R/I$ .

Ahora tengo cierta incertidumbre. ¿No es el anillo de cociente $\mathbb{Z}[x]/(x,2)$ simplemente se compone de $0$ y $1$ ?

Además, la diferencia de dos tensores simples como generador de módulos es un poco misteriosa.

Agradeceré cualquier contexto de ayuda.

Answer 1

Dejemos que $\varphi:R\to I\otimes_RI$ ser el único $R$ -homomorfismo de módulo tal que $\varphi(1)=x\otimes 2-2\otimes x$ . Entonces $I\subseteq\ker\varphi$ para que obtengamos un $R$ -homomorfismo de módulo $\bar\varphi:R/I\to I\otimes_RI$ . Tenemos una secuencia exacta de $R$ -módulos: $$\{0\}\to R\xrightarrow\kappa R^2\xrightarrow\xi I\to\{0\}$$ donde \begin{align} &\kappa(r)=(-2r,xr)& &\xi(u,v)=xu+2v \end{align} por cada $r\in R$ y $u,v\in R$ . Existe uno y sólo uno $R$ -homomorfismo de módulo $\varrho:R^2\otimes_RR^2\to R/I$ tal que $\varrho((a,b)\otimes(c,d))=ad+I$ . Entonces $\xi\otimes_R\xi:R^2\otimes_RR^2\to I\otimes_RI$ es suryente y $\ker(\xi\otimes_R\xi)\subseteq\ker\varrho$ . Por lo tanto, existe un $R$ -homomorfismo de módulo $\psi:I\otimes_RI\to R/I$ haciendo que el siguiente diagrama sea conmutativo:

donde $\sigma(1)=(1,0)\otimes(0,1)-(0,1)\otimes(1,0)$ . Desde $\pi$ es suryente, esto demuestra que $\ker\varphi=I$ Por lo tanto $\bar\varphi:R/I\to I\otimes_R I$ induce una $R$ -módulo isomorfo sobre su imagen.