Simulación de una variable aleatoria de área de división

Question

Supongamos que tenemos una variable aleatoria con pdf como $f = \left\{ \begin{array}{ c l } x+1, x\in [-1,0] \\ -x+1, x\in (0,1] \end{array} \right.$ y tenemos que simularlo.

Su pdf es $F(x) = \left\{ \begin{array}{ c l } x^2/2+x+0.5, x\in [-1,0] \\ -x^2/2+x+0.5, x\in (0,1] \end{array} \right.$

dos métodos para simular esto se pueden encontrar aquí http://web.ics.purdue.edu/~hwan/IE680/Lectures/Chap08Slides.pdf página 12.

Mi pregunta es si podemos simular problemas así por puño simular un U(0,1) aleatorio y

si es pequeño a que la probabilidad $P(x\in [-1,0])=1/2$ simular desde la primera parte con la transformación inversa $\sqrt{2U}-1$ pero para un $U\sim Unif(0,1/2=P(x\in [-1,0]))$

y si es mayor simulación con transformación inversa $1-\sqrt{(2(1-U))}$ utilizando a $U\sim Unif(1/2,1)$ .

Cuando hago el histograma parece que funciona, pero ¿es correcto?

[code]rand=function(){
if(runif(1,0,1)<=1/2){x=sqrt(2*runif(1,0,1/2))-1}else{
x=1-sqrt(2-2*runif(1,1/2,1))
}
return(x)
}

pri=NULL

for(i in 1:10000)
{
pri=c(pri,rand())
}

hist(pri,prob=T)[/code]

Answer 1

Sí, tu código genera los resultados correctos, pero como puedes ver en los cálculos de abajo, es difícil de entender. Le sugiero que siga los apuntes de las clases enlazadas y que utilice runif(1,0,1) que representa $\mathrm{Unif}(0,1)$ .

El algoritmo de composición en las notas vinculadas:

1. Generar dos independientes $U_1, U_2 \sim \mathrm{Unif}(0,1)$
2. • Si $U_1 < 1/2$ , volver $X = \sqrt{U_2}-1$
   • En caso contrario, devuelve $X = 1 - \sqrt{1-U_2}$

El algoritmo de composición en el cuerpo de la pregunta contiene una versión reescalada de $U_2$ .

1. Generar $U_1 \sim \mathrm{Unif}(0,1)$
2. • $U_1 < 1/2$ , volver $X = \sqrt{2U}-1$ para $U\sim \mathrm{Unif}(0,1/2)$
     De hecho, $2U \stackrel{(d)}{=} U_2$ .
   • En caso contrario, devuelve $X = 1 - \sqrt{2-2U}$ para $U\sim \mathrm{Unif}(1/2,1)$
     De hecho, $2U \sim \mathrm{Unif}(1,2)$ Así que $2-2U \sim \mathrm{Unif}(0,1)$ y $2-2U \stackrel{(d)}{=} 1-U_2$ .

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Estas figuras ilustran el funcionamiento del código.

Si aumentamos el tamaño de la muestra de 10k a 50k, el histograma se parece más a la distribución triangular en $[-1,1]$ .

Aumentamos el número de clases de 20 a 50 para poder observar los datos más de cerca.

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Mi código

rand=function(){
if(runif(1,0,1)<=1/2){x=sqrt(2*runif(1,0,1/2))-1}else{
x=1-sqrt(2-2*runif(1,1/2,1))
}
return(x)
}

pri=NULL
for(i in 1:50000)
{
pri=c(pri,rand())
}

hist(pri,breaks=50,prob=T)