Demostrar que $\phi$ es un homomorfismo

Question

$$G = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \text{with $ a $ in $ \{1, -1\} $ and $ b $ in } \mathbb{Z}\right\}$$

G es un subgrupo del grupo de matrices $GL_2(\mathbb{Q})$ . Demostrar que $\phi : G \rightarrow \{1,-1\} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ dado por $ ( \begin{smallmatrix} a & b \\ 0 & 1 \\ \end{smallmatrix}) \rightarrow (a,\overline{b})$ es un homomorfismo.

Así que tenemos que demostrar que $\phi(xy) = \phi(x) \phi(y)$ .

Elegí dos matrices al azar en G con entradas superiores a,b y c,d y terminé con $(ac, \overline{ad+b})$ . Ahora tengo que demostrar que $(ac, \overline{ad+b})$ es igual a $(a,\overline{b})(c,\overline{d})$ . Puedo reescribir esto último como $(ac,\overline{bd})$ ? Y si es así, ¿puede $\overline{ad+b}=\overline{bd}$ ¿es correcto? Porque si b es par y d es desigual creo que $\overline{ad+b}=\overline{1}$ y $\overline{bd}=\overline{0}$ .

Answer 1

De hecho, es mejor si denota la operación en $\{1,-1\}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ como $(a,\overline{b})*(c,\overline{d})=(ac,\overline{b}+\overline{d})$ porque la operación habitual en $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ es la adición.

Escrito de esta manera, conseguirá que si $A=\begin{bmatrix}a&b\\ 0& 1\end{bmatrix}$ y $B=\begin{bmatrix}c & d\\ 0&1\end{bmatrix}$ entonces $$\phi(AB)=\phi\left(\begin{bmatrix}ac&ad+b\\ 0 & 1\end{bmatrix}\right)=(ac,\overline{ad+b})=(ac,\overline{a}\overline{d}+\overline{b})$$ y $\phi(A)*\phi(B)=(a,\overline{b})*(c,\overline{d})=(ac,\overline{b}+\overline{d})$

Los últimos componentes son iguales porque para ambos $a=1,-1$ tenemos $\overline{a}=\overline{1}$ .