Operador unitario que deja invariante un subespacio denso

Question

Dejemos que $\mathcal{H}$ sea un espacio de Hilbert, $\mathcal{D}$ sea un subespacio denso de $\mathcal{H}$ et $U$ sea un operador unitario sobre $\mathcal{H}$ .

Supongamos que $U\mathcal{D}\subseteq \mathcal{D}$ . ¿Podemos decir que $U\mathcal{D}= \mathcal{D}$ ?
Si esto no es cierto, ¿conoce un contraejemplo?

Answer 1

Supongamos que la base es $\{e_n, n \in\mathbb{Z}\}$ considere el operador de desplazamiento $S(e_n)=e_{n+1}$ et $D=\{x=(x_i)_{i\in\mathbb{Z}}$ con $x_i\neq 0, i<0$ . $S(D)\subset D$ pero $x=(x_n)$ con $x_n=1/n, i\neq 0, x_0=0$ no está en $S(D)$ .